|
| |
Урок
№11.
Матричные операции линейной
алгебры
-
Вычисление нормы и чисел обусловленности матрицы
-
Определитель и ранг матрицы
-
Определение нормы вектора
-
Определение ортонормированного базиса матрицы
-
Приведение матрицы к треугольной форме
-
Определение угла между двумя подпространствами
-
Вычисление следа матрицы
-
Разложение Холецкого
-
Обращение матриц
-
LU- и QR-разложения
-
Вычисление собственных
значений и сингулярных чисел
-
Приведение матриц к формам Шура и Хессенберга
Линейная алгебра — область, в которой наиболее часто используются векторы и матрицы. Наряду с операциями общего характера, рассмотренными выше, применятся функции, решающие наиболее характерные задачи линейной алгебры. Они и рассмотрены в данном уроке.
Вычисление
нормы и чисел обусловленности матрицы
Для понимания всего нижеизложенного материала необходимо учесть, что нормы матриц в MATLAB отличаются от норм векторов.
Пусть А —матрица. Тогда n=norm(A) эквивалентно п=погп(А,2) и возвращает вторую норму, т. е. самое большое сингулярное число А. Функция n=norm(A, 1) возвращает первую норму, т. е. самую большую из сумм абсолютных значений элементов матрицы по столбцам. Норма неопределенности n=norm(A, inf) возвращает самую большую из сумм абсолютных значений элементов матрицы по рядам. Норма Фробениуса (Frobenius) norm(A, 'fro') =
sqrt(sum(diag(A'A))).
Пример:
» A=[2.3.1:1.9.4:2.6.7]
A =
2 3 1
1 9 4
2 6 7
» norm(A.l)
ans =
18
Числа обусловленности матрицы определяют чувствительность решения системы линейных уравнений к погрешностям исходных данных. Следующие функции позволяют найти числа обусловленности матриц.
-
cond(X) — возвращает число обусловленности, основанное на второй норме, то есть отношение самого большого сингулярного числа X к самому малому. Значение cond(X), близкое к 1, указывает на хорошо обусловленную матрицу;
-
с = cond(X.p) — возвращает число обусловленности матрицы, основанное
на р-норме: norm(X.p)*norm(inv(X),p), где р определяет способ расчета:
-
р=1 — число обусловленности матрицы, основанное на первой норме;
-
р=2 — число обусловленности матрицы, основанное на второй норме;
-
p= 'fro' — число обусловленности матрицы, основанное на норме Фробе-ниуса
(Frobenius);
-
р='inf' — число обусловленности матрицы, основанное на норме неопределенности.
-
с = cond(X) — возвращает число обусловленности матрицы, основанное на второй норме.
Пример:
» d=cond(hilb(4))
d =
1.5514е+004
-
condeig(A) — возвращает вектор чисел обусловленности для собственных значений А. Эти числа обусловленности — обратные величины косинусов углов между левыми и правыми собственными векторами;
-
[V.D.s] = condeig(A) — эквивалентно [V,D] = eig(A): s =
condeig(A);.
Большие числа обусловленности означают, что матрица А близка к матрице с
кратными собственными значениями.
Пример:
» d=condeig(rand(4))
d =
1.0766
1.2298
1.5862
1.7540
-
rcond(A) — возвращает обратную величину обусловленности матрицы А по первой норме, используя оценивающий обусловленность метод LAPACK. Если А — хорошо обусловленная матрица, то rcond(A) около 1.00, если плохо обусловленная, то около 0.00. По сравнению с cond функция rcond реализует более эффективный в плане затрат машинного времени, но менее достоверный метод оценки обусловленности матрицы.
Пример:
» s=rcond(hilb(4))
s =
4.6461е-005
Определитель
и ранг матрицы
Для нахождения определителя (детерминанта) и ранга матриц в MATLAB имеются следующие функции:
Пример:
» А=[2,3,6:1.8.4;3.6,7]
А =
» det(A)
ans =
-29
Детерминант матрицы вычисляется на основе треугольного разложения методом исключения Гаусса:
[L.U>lu(A): s=det(L): d=s*prod(diag(U)).
Ранг матрицы определяется количеством сингулярных чисел, превышающих порог
tol=max(size(A))*nprm(A)*eps.
При этом используется следующий алгоритм:
s=svd(A);tol=max(size(A))*npnri(A)*eps:r=sum(s>tol):
Для вычисления ранга используется функция rank:
-
rank (А) — возвращает количество сингулярных чисел, которые являются большими, чем заданный по умолчанию допуск;
-
rank(A.tol) — возвращает количество сингулярных чисел, которые превышают tol. Пример:
» rank(hilbdl))
ans =
10
Определение
нормы вектора
Норма вектора — скаляр, дающий представление о величине элементов вектора. Нужно различать норму матрицы и норму вектора. Функция norm определяет, является ли ее аргументом (входным аргументом в терминологии MATLAB) вектор или матрица, и измеряет несколько различных типов норм векторов:
-
norm(X)=norm(X,2) — вторая норма возвращает наибольшее сингулярное число
X, max(svd(X));
-
norm(X.p) , где р — целое положительное число, — возвращает корень степени р из суммы абсолютных значений элементов вектора, возведенных в степень р. При р = 1 это может совпадать либо с первой нормой, либо с нормой неопределенности матриц;
-
norm(X, 'inf') возвращает максимальное из абсолютных значений элементов
вектора; О norm(X, '-Inf') возвращает минимальное из абсолютных значений элементов
вектора.
Определение
ортонормированного базиса матрицы
Вычисление ортонормированного базиса матрицы обеспечивают нижеприведенные функции:
-
В = orth(A) — возвращает ортонормированный базис матрицы А. Столбцы В определяют то же пространство, что и столбцы матрицы А, но столбцы В ортогональны, то есть B*B=eye(rank(A)). Количество столбцов матрицы В равно рангу матрицы А.
Пример:
» А=[2 4 6:9 8 2:12 23 43]
А =
» B=orth(A)
В=
0.1453 -0.0414-0.9885
0.1522 -0.98630.0637
0.9776 0.1597 0.1371
Пример:
» null(hilb(11))
ans =
0.0000
-0.0000
0.0009
-0.0099
0.0593
-0.2101
0.4606
-0.6318
0.5276
-0.2453
0.0487
Функции
приведения матрицы к треугольной форме
Треугольной называется квадратная матрица А, если при l>k (верхняя треугольная матрица) или при к>1(нижняя треугольная матрица) элементы матрицы A(l,k) равны нулю. В строго треугольной матрице нули находятся и на главной диагонали. В линейной алгебре часто используется приведение матриц к той или иной треугольной форме. Оно реализуется следующими функциями:
-
rref (A) — возвращает приведенную к треугольной форме матрицу, используя метод исключения Гаусса с частичным выбором ведущего элемента. По умолчанию принимается значение порога допустимости для незначительного элемента столбца, равное
(max(s1ze(A))*eps*norm(A,inf));
-
[R, jb] = rref (A) — также возвращает вектор jb, так что:
-
r = length (jb) может служить оценкой ранга матрицы А;
-
х( jb) — связанные переменные в системе линейных уравнений вида Ах=b;
-
А(:, jb) — базис матрицы А;
-
R(l:r.jb) — единичная матрица размера
rхr;
-
[R. jb] = rref (A,to!) — осуществляет приведение матрицы к треугольной форме, используя метод исключения Гаусса с частичным выбором ведущего элемента для заданного значения порога допустимости
tol;
-
rrefmovie(A) — показывает пошаговое исполнение процедуры приведения матрицы к треугольной.
Примеры:
Определение
угла между двумя подпространствами
Угол между двумя подпространствами вычисляет функция subsрасе:
-
theta = subspace(A.B) — возвращает угол между двумя подпространствами, натянутыми на столбцы матриц А и В. Если А и В — векторы-столбцы единичной длины, то угол вычисляется по формуле acos(A'*B). Если некоторый физический эксперимент описывается массивом А, а вторая реализация этого эксперимента — массивом В, то subspace(A.B) измеряет количество новой информации, полученной из второго эксперимента и не связанной со случайными ошибками и флуктуациями.
Пример:
» Н = hadamard(20);A = Н(:.2:4);В = Н(:.5:8):
» subspace(A.B)
ans =
1.5708
Вычисление
следа матрицы
След матрицы А — это сумма ее диагональных элементов. Он вычисляется функцией
trace:
» а=[2.3.4:5.6,7;8.9,1]
а =
234
5.6 7
8 9 1
» trace(a)
ans =
9
Разложение
Холецкого
Разложение Холецкого — известный прием матричных вычислений. Функция chol находит это разложение для действительных и комплексных эрмитовых матриц.
-
R = chol(X) — для квадратной матрицы
[Положительно определенной называется действительная симметрическая матрица, все собственные значения которой положительны. Поскольку используется только верхний треугольник матрицы X, матрица X не обязательно должна быть симметрической. —
Примеч. ред.]. X возвращает верхнюю треугольную матрицу R, так что R'*R=Xnew. Если симметрическая матрица Xnew, заданная верхней треугольной частью и диагональю матрицы X, не является положительно определенной матрицей, выдает сообщение об ошибке. Разложение Холецкого возможно для действительных и комплексных эрмитовых матриц
[Квадратная матрица с комплексными элементами, комплексно сопряженная матрица которой может быть получена транспонированием, т. е. равна транспонированной матрице (А*=А). —
Примеч. ред.];
-
[R.p] = chol (X) с двумя выходными аргументами никогда не генерирует сообщение об ошибке в ходе выполнения разложения Холецкого квадратной матрицы X. Если верхняя треугольная часть и диагональ X задают положительно определенную матрицу, то р=0, a R совпадает с вышеописанным случаем, иначе р. — положительное целое число, a R — верхняя треугольная матрица порядка q=p-l, такая что
R'*R=X(l:q,l:q).
Пример:
» c=chol(pascal(4))
с =
1 1 1
1
0 1
2 3
0 0
1 3
0 0
0 1
Обращение
матриц — функции inv, pinv
Обращение матриц — одна из наиболее распространенных операций матричного анализа. Обратной называют матрицу, получаемую в результате деления единичной матрицы Е на исходную матрицу X. Таким образом, Х^-1=Е/Х. Следующие функции обеспечивают реализацию данной операции:
Пример:
» inv(rand(4,4))
ans =
2.2631 -2.3495-0.4696-0.6631
-0.76201.2122 1.7041 -1.2146
-2.04081.4228 1.5538 1.3730
1.3075 -0.0183-2.54830.6344
На практике вычисление явной обратной матрицы не так уж необходимо. Чаще операцию обращения применяют при решении системы линейных уравнений вида Ах=b. Один из путей решения этой системы — вычисление x=inv(A)*b. Но лучшим с точки зрения минимизации времени расчета и повышения точности вычислений является использование оператора матричного деления х=А\b. Эта операция использует метод исключения Гаусса без явного формирования обратной матрицы.
-
В = pinv(A) — возвращает матрицу, псевдообратную матрице А (псевдообращение матрицы по Муру-Пенроузу). Результатом псевдообращения матрицы по Муру-Пенроузу является матрица В того же размера, что и А', и удовлетворяющая условиям А*В*А=А и В*А*В=В. Вычисление основано на использовании функции svd(A) и приравнивании к нулю всех сингулярных чисел, меньших величины
tol;
-
В = pinv (A. tol) — возвращает псевдообратную матрицу и отменяет заданный по умолчанию порог, равный
max(size(A))*norm(A)*eps.
Пример:
» pinv(rand(4,3))
ans =
-1.3907-0.0485-0.24931.8640
-0.87751.1636 0.6605 -0.0034
2.0906 -0.5921-0.2749-0.5987
LU- и
QR-разложения
Так называемые LU- и QR-разложения реализуются следующими матричными функциями:
Функция 1и выражает любую квадратную матрицу X как произведение двух треугольных матриц, одна из которых (возможно, с перестановками) — нижняя треугольная матрица, а другая — верхняя треугольная матрица[В MATLAB 6 аргументом (входным аргументом) функции lu может быть и полная прямоугольная матрица. —
Примеч. ред.]. Иногда эту операцию называют LR-разложением. Для выполнения этой операции служит следующая функция:
-
[L,U] = lu(X) — возвращает верхнюю треугольную матрицу U и психологическую нижнюю матрицу L (т. е. произведение нижней треугольной матрицы и матрицы перестановок), так что
X=L*U;
-
[L,U,P.] = lu(X) — возвращает верхнюю треугольную матрицу U, нижнюю треугольную матрицу L и сопряженную (эрмитову) матрицу матрицы перестановок Р, так что L*U =Р*Х;
-
lu(Х) — вызванная с одним выходным параметром функция возвращает результат из подпрограмм DGETRF (для действительных матриц) или ZGETRF (для комплексных) известного пакета программ линейной алгебры
LAPACK.
-
lu(X, thresh) — где thresh в диапазоне [0...1] управляет центрированием в разреженных матрицах (см. урок 12). Отдельная форма предыдущего случая. Центрирование происходит, если элемент столбца на диагонали меньше, чем произведение thresh и любого поддиагонального элемента. Thresh=l — значение по умолчанию. Thresh=0 задает центрирование по диагонали. Если матрица полная (не разреженная), выводится сообщение об ошибке.
Функция qr выполняет QR-разложепие матрицы. Эта операция полезна для квадратных и треугольных матриц. Она выполняет QR-разложение, вычисляя произведение унитарной
[Квадратная матрица с комплексными элементами, обладающая тем свойством, что обратная матрица ее комплексно сопряженной матрицы равна транспонированной, т. е. (А*)''-А'. —
Примеч. ред.] матрицы и верхней треугольной матрицы. Функция используется в следующих формах:
[Квадратная матрица с комплексными элементами, обладающая тем свойством, что обратная матрица ее комплексно сопряженной матрицы равна транспонированной, т. е. (А*)''-А'. —
Примеч. ред.]
-
[Q.R] = qr(X) — вычисляет верхнюю треугольную матрицу R того же размера, как и у X, и унитарную матрицу Q, так что
X=Q*R;
-
[Q.R.E] = qr(X) — вычисляет матрицу перестановок Е, верхнюю треугольную матрицу R с убывающими по модулю диагональными элементами и унитарную матрицу Q, так что X*E=Q*R. Матрица перестановок Е выбрана так, что abs(diag(R)) уменьшается;
-
[Q.R] = qr(X.O) и [Q.R.E] = qr(X,0) — вычисляют экономное разложение, в котором Е — вектор перестановок, так что Q*R=X(: ,Е). Матрица Е выбрана так, что abs(diag(R)) уменьшается;
-
А = qr(X) — возвращает результат из LAPACK. Пример:
» C=rand(5.4)
С=
0.8381 0.5028 0.1934 0.6979
0.0196 0.7095 0.6822 0.3784
0.6813 0.4289 0.3028 0.8600
0.3795 0.3046 0.5417 0.8537
0.8318 0.1897 0.1509 0.5936
» [Q.R]=qr(C)
Q=
-0.5922-0.11140.5197 0.0743 -0.6011
-0.0139-0.9278 -0.0011 -0.34480.1420
-0.4814-0.11730.0699 0.5940 0.6299
-0.2681-0.1525-0.82680.2632 -0.3898
-0.58770.2997 -0.2036-0.67340.2643
R =
-1.4152
-0.7072 -0.5037 -1.4103
0
-0.7541 -0.7274 -0.4819
0 0
-0.3577 -0.4043
0 0
0 0.2573
0 0
0 0
-
[Q,R] = qrdelete(Q,R, j) — изменяет Q и RTaKHM образом, чтобы пересчитать QR-разложение матрицы А для случая, когда в ней удален j-й столбец (А(:, j )=[ ]). Входные значения Q и R представляют QR-разложение матрицы А как результат действия [Q. R]=qr(A)..Аргумент j определяет столбец,
который должен быть удален из матрицы А.
Примеры:
» C=rand(3.3)
С =
0.0164 0.0576 0.7176
0.1901 0.3676 0.6927
0.5869 0.6315 0.0841
» [Q.R]=qr(C)
Q=
-0.0265-0.2416-0.9700
-0.3080-0.92120.2378
-0.95100.3051 -0.0500
R =
-0.6171-0.7153-0.3123
0 -0.1599-0.7858
0 0 -0.5356
» [Q1.R1]=qrdelete(Q.R.2)
Q1 =
-0.02650.7459 0.6655
-0.30800.6272 -0.7153
-0.9510-0.22390.2131
R1 =
-0.6171-0.3123
0 0.9510
0 0
-
[Q.R] = qrinsert(Q,R,j,x) — изменяет Q и R таким образом, чтобы пересчитать разложение матрицы А для случая, когда в матрице А перед j-м столбцом вставлен столбец х. Входные значения Q и R представляют QR-разложение матрицы А как результат действия [Q,R]=qr(A). Аргумент х — вектор-столбец, который нужно вставить в матрицу А. Аргумент j определяет столбец, перед которым будет вставлен вектор х.
Примеры:
» C=rand(3.3)
С =
0.1210 0.8928 0.8656
0.4508 0.2731 0.2324
0.7159 0.2548 0.8049
» [Q,R]-qr(c)
Q =
-0.14160.9835 0.1126
-0.52750.0213 -0.8493
-0.8377-0.17970.5157
R =
-0.8546-0.4839-0.9194
0 0.8381 0.7116
0 0 0.3152
» x=[0.5.-0.3.0.2];[Q2.R2]=qrinsert(Q.R.2,x')
Q2 =
-0.14160.7995 -0.5838
-0.5275-0.5600-0.6389
-0.83770.2174 0.5010
R2 =
-0.8546-0.0801-0.4839-0.9194
0 0.6112 0.6163 0.7369
0 0 -0.5681-0.2505
Вычисление
собственных значений и сингулярных чисел
Во многих областях математики и прикладных наук большое значение имеют средства для вычисления собственных значений (собственных чисел, характеристических чисел, решений векового уравнения) матриц, принадлежащих им векторов
и сингулярных чисел. В новой версии MATLAB собственные вектора нормализуются, иначе, чем в предыдущих. Основной критерий: либо V'V=I, либо V'BV=I, где V — собственный вектор, I — единичная матрица. Поэтому результаты вычислений в новой версии, как правило, отличаются. Ниже дан список средств решения векового уравнения, реализованных в системе MATLAB.
Несимметрические матрицы могут быть плохо обусловлены при вычислении их собственных значений. Малые изменения элементов матрицы, такие как ошибки округления, могут вызвать большие изменения в собственных значениях. Масштабирование — это попытка перевести каждую плохую обусловленность собственных векторов матрицы в диагональное масштабирование. Однако масштабирование обычно не может преобразовать несимметрическую матрицу в симметрическую, а только пытается сделать (векторную) норму каждой строки равной норме соответствующего столбца. Масштабирование значительно повышает стабильность собственных значений.
-
[D.B] = balance(A) — возвращает диагональную матрицу D, элементы которой являются степенями основания 2, и масштабированную матрицу В, такую, что B=D\A*D, а норма каждого ряда масштабированной матрицы приближается к норме столбца с тем же номером;
-
В = balance(A) — возвращает масштабированную матрицу В. Пример использования функции balance:
» А=[1 1000 10000:0.0001 1 1000:0.000001 0.0001 1]
А =
1.0е+004 *
0.0001 0.1000 1.0000
0.0000 0.0001 0.1000
0.0000 0.0000 0.0001
» [F.G]=balance(A)
F =
1.0е+004 *
3.2768 0 0
0 0.0032 0
0 0 0.0000
G =
1.0000 0.9766 0.0095
0.1024 1.0000 0.9766
1.0486 0.1024 1.0000
Величина, связывающая погрешность вычисления собственных значений с погрешностью исходных данных, называется числом обусловленности (собственных значений) матрицы и вычисляется следующим образом:
cond(V) = norm(V)*norm(inv(V)) где [V.D]=eig(A).[B=D\A*D, а норма каждого ряда масштабированной матрицы приближается к норме столбца с тем же номером;]
это просто полные матрицы со сравнительно большим
[Но небольшим по сравнению с числом нулей разреженной матрицы. Эталонное число нулей разреженной матрицы данного размера можно вычислить, применив к полной матрице этого же размера функцию sparse. —
Примеч. ред.] числом нулей), а также во всех случаях, где помимо собственных значений необходимо получать и собственные вектора разреженной матрицы, вместо нее рекомендовано использовать eigs(A);
Нужно использовать [W,D]=e1g(A'); W=W, чтобы вычислить левые собственные вектора, которые соответствуют уравнению W*A=D*W.
-
[V.D] = eig(A,'nobalance') — находит собственные векторы и собственные значения без предварительного масштабирования. Иногда это улучшает обусловленность входной матрицы, обеспечивая большую точность вычисления собственных векторов для необычно масштабированных матриц;
-
eig(A.B. 'chol') — возвращает вектор, содержащий обобщенные собственные значения, используя разложение матрицы В по методу Холецкого; если А - симметрическая квадратная матрица и В — симметрическая положительно определенная квадратная матрица, то eig(A.B) по умолчанию работает точно так же;
-
eig(A,B, 'qz') — не требует, чтобы матрицы были симметрическими и возвращает вектор, содержащий обобщенные собственные значения, используя QZ-алгоритм; при явном указании этого флага QZ-алгоритм используется вместо алгоритма Холецкого даже для симметрической матрицы и симметрической положительно определенной матрицы В, так как может давать более стабильные значения, чем предыдущий метод. Для несимметрических матриц в MATLAB 6 всегда используется QZ-алгоритм и параметр 'chol' или 'qz' игнорируется;
-
[V.D] = eig(A.B) — возвращает диагональную матрицу обобщенных собственных значений D и матрицу V, чьи столбцы являются соответствующими собственными векторами, так чтобы A*V=B*V*D.
Пример:
» В = [3 -12 -.6 2*eps:-2 48 -1 -eps;-eps/8 eps/2 -1 10;-.5 -.5 .3 1]
В =
3.0000 -12.0000 -0.60000.0000
-2.0000 48.0000-1.0000-0.0000
-0.0000 0.0000 -1.0000 10.0000
-0.5000 -0.5000 0.3000 1.0000
» [G.H]=eig(B)
G =
-0.2548 0.7420
-0.4842 0.1956
0.9670 0.0193
-0.0388 0.0276
-0.0015
-0.6181 -0.8575 0.9780
-0.0075 -0.2588
-0.1694 -0.0676
H =
48.5287 0
0 0
0 3.1873
0 0
0 0
0.9750 0
0 0
0 -1.6909
-
svd(X) — возвращает вектор сингулярных чисел. Команда svd выполняет сингулярное разложение матрицы X;
-
[U.S, V] = svd(X) — вычисляет диагональную матрицу S тех же размеров, которые имеет матрица X, с неотрицательными диагональными элементами в порядке их убывания, и унитарные матрицы U и V, так что X=U*S*V ' ;
-
[U.S.V] = svd(X.O) — выполняет экономичное сингулярное разложение. Пример:
» F=[23 12;3 5:6 0]
F =
23 12
3
5
6
0
» [k,l,m]=svd(F)
k=
0.8863 -0.4630
0.4630 0.8863
Приведение
матриц к форме Шура и Хессенберга
Ниже приводятся функции, обеспечивающие приведение матриц к специальным формам Шура и Хессенберга:
-
cdf2rdf — преобразование комплексной формы Шура в действительную. Если система [V,D]=eig(X) имеет комплексные собственные значения, объединенные в комплексно-сопряженные пары, то функция cdf2rdf преобразует систему таким образом, что матрица D принимает вещественный диагональный вид с 2x2 вещественными блоками, заменяющими первоначальные комплексные пары.
Конкретные столбцы матрицы V больше не являются собственными векторами, но каждая пара векторов связана с блоком размера 2x2 в матрице D. Пример:
» А-[2 3 6;-4 0 3:1 5 -2]
А =
2 3 6
-4 0 3
1 5 -2
Функция qz обеспечивает приведение пары матриц к обобщенной форме Шура:
-
[AA.8B.Q.Z.V] = qz(A.B) — возвращает, возможно, комплексные верхние треугольные матрицы АА и ВВ и соответствующие матрицы приведения Q и I, такие что Q*A*Z=AA и Q*B*Z=BB. Функция также возвращает матрицу обобщенных собственных векторов V.
Обобщенные собственные значения могут быть найдены из следующего условия:
A*V*diag(BB) = B*V*diag(AA)
Пример:
» А=[1 2 3:6 3 0;4 7 0];В=[1 1 1:0 7 4:9 4 1];
» [aa.bb.f,g.h]=qz(A.B)
аа =
-2.9395 0.4775 0.8751
0 9.5462 3.5985
0 0 3.2073
bb=
-0.7023 -0.7050 -0.0989
0.6867 -0.6343 -0.3552
-0.1877 0.3174 -0.9295
h =
-1.0000 -0.4874 -0.0561
0.9778 -1.0000 0.6238
-0.2673 0.4340 -1.0000
Функция qz(A,B,' real') при заданных матрицах А и В возвращает действительные треугольную матрицу ВВ и квазитреугольную матрицу АА с 2x2 диагональными блоками, соответствующими парам сопряженных комплексных значений. Так как матрица АА квазитреугольная, то необходимо решить проблемы обобщения 2x2 для получения подлинных собственных значений.
Пример:
» А=[1 2 3:6 3 0:4 7 0];В=[1 1 1:0 7 4;9 4
1];
» [aa.bb.f,g.h]=qz(A.B,'real')
аа =
-2.9395 0.4775 0.8751
0 9.5462 3.5985
0 0
3.2073
bb =
5.5356 3.5345
-2.2935
0
8.4826 6.7128
0
0 0.7667
f =
-0.0367 0.7327
-0.6796
-0.1052 -0.6791
-0.7265
-0.9938 0.0448
0.1020
g=
-0.7023 -0.7050
-0.0989
0.6867 -0.6343
-0.3552
-0.1877 0.3174
-0.9295
h =
-1.0000 -0.4874
-0.0561
0.9778 -1.0000
0.6238
-0.2673 0.4340
-1.0000
-
Т = schur(A) — возвращает матрицу Шура Т.
-
[U.T] = schur(A) — возвращает матрицу Шура Т и унитарную матрицу U, такие что A=U Т U и U' и=еуе(51ге(А))(единичная матрица размера А);
-
[U,T] = rsf2csf(u.t)[В MATLAB 6 в функции schur, если ее входной аргумент — действительная матрица, может использоваться новый параметр 'complex' (schur,'complex'), позволяющий получить комплексную форму Шура без использования функции преобразования rsf2csf. —
Примеч. ред.] — преобразование результатов предыдущей функции (действительной формы Шура) в комплексную форму Шура может использоваться только после вызова [u,t] = schur(A) Комплексная форма Шура — это верхняя треугольная матрица со всеми собственными значениями на диагонали. Действительная форма Шура имеет действительные собственные значения на диагонали, а комплексные собственные значения содержатся в 2x2 блоках, расположенных вдоль диагонали. И входные, и выходные матрицы U, u и Т, tпредставляют собой соответственно унитарные матрицы и матрицы Шура исходной матрицы А, которая удовлетворяет условиям A=UTU' и U' U=eye( si ze(A));
-
Н = hess(A) — находит Н, верхнюю форму Хессенберга для матрицы А;
-
[Р.Н] = hess(A) — возвращает матрицу Хессенберга Н и унитарную матрицу
преобразований Р, такую что А=Р*Н*Р' и P'*P=eye(s1ze(A)).
Элементы матрицы Хессенберга, расположенные ниже первой поддиагонали, равны нулю. Если матрица симметричная или эрмитова, то матрица Хессенберга вырождается в трехдиагональную. Эта матрица имеет те же собственные значения, что и оригинал, но для их вычисления необходимо меньшее количество операций. Пример:
» f=magic(4)
f =
16 2 3 13
5 11 10 8
9 7 6 12
4 14 15 1
» hess(f)
ans=
16.0000 -8.0577 8.8958 6.1595
-11.0454 24.2131 -8.1984 2.1241
0 -13.5058 -4.3894 -7.8918
0 0 3.2744 -1.8237
Что
нового мы узнали?
В этом уроке мы научились:
-
Находить числа обусловленности матриц, их определитель, след и ранг.
-
Находить векторную и матричную нормы и различать их.
-
Определять ортонормальный базис матриц.
-
Приводить матрицы к треугольной форме.
-
Определять угол между двумя подпространствами.
-
Осуществлять разложение Холецкого, LU- и QR-разложения матриц.
-
Вычислять обратные матрицы.
-
Находить собственные значения и сингулярные числа матриц.
-
Приводить матрицы к формам Шура и Хессенберга.
|