Броуновское движение и математический анализ (2021)
https://t.me/brownianalysis Спецкурс. Расписание: Среда 16:20 ауд. 5207.

Броуновское движение и диффузионные процессы играют важную роль в естественных науках, позволяя описывать поведение макросистем с учётом изменений на микроуровне. А также являются чрезвычайно интересными математическими объектами для изучения. Так, траектории броуновского движения являются примером непрерывных и всюду недифференцируемых функций. С другой стороны, через значения броуновского движения может быть выражено решение задачи Дирихле. Курс нацелен на изучение понятий анализа и геометрии в приложениях к теории случайных процессов.

План лекций

1. (22 сентября) Введение, история.

Лекции Стаса Смирнова о случайном блуждании: 1, 2, 3. Лекция Мартина Хайера: Bridging Scales.
Конструкция Башелье, гауссовское рапределение.

2. (29 сентября) Броуновское движение, случай n=1. Инвариантность при масштабировании.

гауссовский вектор,

3. (6 октября) Броуновское движение как гауссовский процесс. Обратное время

4. (13 октября)

5. (20 октября)

6. (27 октября) Конструкция броуноовского движения (доказательство существования)

7. (3 ноября) Свойства непрерывности. Условие Гёльдера.

8. (10 ноября) Почти всюду недифференцируемость.

9. (17 ноября) Недифференцируемость всюду.

10. (24 ноября) Гармонические функции и задача Дирихле

Dirichlet Problem

11. (1 декабря) Стохастический интеграл

MIT 18.S096 Topics in Mathematics with Applications in Finance, Fall 2013: lecture 17, lecture 18,

12. (8 декабря)

15 декабря экзамен

Литература

1. Peter Mörters, Yuval Peres, Brownian Motion. Cambridge University Press, 2010. link

2. Коралов Л.Б., Синай Я.Г. Теория вероятностей и случайные процессы. МЦНМО, 2013.