傅里叶级数是由周期函数所确定的一种三角级数，对于周期为$2\pi$的周期函数，傅里叶级数有以下形式：
$$
\frac{a_0}{2}+\sum\limits_{n=1}^\infty (a_n\cos nx +b_n\sin nx),
$$
其中 $a_n,b_n$ 傅里叶系数，可由以下公式推出：
$$
a_n=\frac{1}{\pi} \int\limits_{-\pi }^\pi f(x)\cos nx \,dx, \quad n=0,1,2,\dots
$$
$$
b_n=\frac{1}{\pi} \int\limits_{-\pi }^\pi f(x)\sin nx \,dx, \quad n=1,2,\dots.
$$
将周期为$2\pi$的周期函数展开为傅里叶级数需：
1) 求出傅里叶系数 $a_n$,$b_n$;
2) 将其写成傅里叶级数形式： $\frac{a_0}{2}+\sum\limits_{n=1}^\infty (a_n\cos nx +b_n\sin nx)$.
对复数形式的傅里叶级数来说，有以下推论和性质:
$$
f(x) \sim \sum\limits_{k=-\infty}^{\infty }c_ke^{ikx}, \quad c_k = \frac{1}{2\pi}\int\limits_{-\pi}^\pi f(x)e^{-ikx}\,dx.
$$
傅里叶级数的部分和记作： $S_n(x) = \sum\limits_{k=-n}^{n }c_ke^{ikx}$.
最根本的问题是求证：部分和的极限是否等于$f(x)$？为什么？ $\lim\limits_{n\to\infty}S_n(x)\stackrel?= f(x)$.
黎曼-勒贝格定理}
如果函数$f(x)$是定义在区间$[a,b]$上的可积函数，则：
$$\lim_{p\to +\infty } \int\limits_a^bf(x)e^{ipx}\,dx=0.$$
狄利克雷核指的是以下一族函数：
$$
D_n(y) = \frac{1}{2\pi}\sum\limits_{k=-n}^{n}e^{iky}.
$$
容易得出以下表达式：
$$
D_n(y) = \frac{1}{2\pi}\frac{1-e^{-2iny}}{1-e^{iy}}e^{iny} =
\frac{1}{2\pi}+\frac{1}{\pi}\sum_{k=1}^n\cos(kx)=\frac{1}{2\pi}\frac{\sin\left(\left(n +\frac{1}{2}\right)x\right)}{\sin(x/2)}.
$$
狄利克雷核的一些性质：
- $D_n(y+2pi) = D_n(y)$ ($2\pi$周期 );
- $D_n(-y) = D_n(y)$ (偶函数);
- $\int\limits_{-\pi}^\pi D_n(y)\,dy = 1$.
狄利克雷核在求傅里叶级数部分和时有很重要的应用
$$
S_n(x) = \int\limits_{-\pi}^\pi f(x - y)D_n(y)\, dy.
$$
下面是最主要的一些分解定理之一
设函数$f(x)$是周期为$2\pi$的周期函数，且分段光滑，此时其傅里叶级数满足：
$$
\sum\limits_{k=-\infty}^{\infty}c_ke^{ikx} = \frac{1}{2}\big(f(x+0) + f(x-0)\big).
$$
帕塞瓦尔恒等式表明，函数$f(x)$在$L_2$空间上的范数与其傅里叶级数有以下关系：
$$
\sum_{k=-\infty}^{\infty}|c_k|^2 = \frac{1}{2\pi}\int\limits_{-\pi}^{\pi}|f(x)|^2\,dx.
$$
傅里叶变换数的一些基本公式与定理
傅里叶变换将可积函数 $f:\mathbb R \to\mathbb C$ 表示成复指数函数的积分或级数形式
$$
\mathcal F(f(x)) = \hat{f}(\xi) = \int_{-\infty}^\infty f(x)\ e^{-2\pi i x \xi}\,dx, \xi \quad \text{为任意实数。}
$$
傅里叶变换数的一些性质：
- $\mathcal F(f(x+h)) = \hat f(\xi)\cdot e^{2\pi i h\xi}$;
- $\mathcal F(f(x)e^{-2\pi ixh}) = \hat f(\xi+h)$;
- $\mathcal F(f(\delta x)) = \delta^{-1}\hat f(\delta^{-1}\xi)$;
- $\mathcal F(\frac{d}{dx}f(x)) = 2\pi i\xi\hat f(\xi)$;
- $\mathcal F(-2\pi i xf(x)) = \frac{d}{d\xi}\hat f(\xi)$.
卷积
卷积是分析数学中一种重要的运算。设： $f(x)$, $g(x)$ 是 $\mathbb{R}$上的两个可积函数，作积分：
$$
(f*g)(x) = \int\limits_{-\infty}^{\infty}f(x-t)g(t)\, dt.
$$
可以证明，关于几乎所有的 $x \in (-\infty,\infty)$，上述积分是存在的。这样，随着x的不同取值，这个积分就定义了一个新函数$h(x)$，称为函数f与g的卷积，记为 $h(x)=(f*g)(x)$。
卷积一些性质：
- $f*g = g*f$;
- $\mathcal F(f*g) = \hat f(\xi)\cdot\hat g(\xi)$.
帕塞瓦尔定理
$$
\int\limits_{-\infty}^{\infty}f(x)\cdot\overline{g(x)}\, dx =
\int\limits_{-\infty}^{\infty}\hat f(\xi)\cdot\overline{\hat g(\xi)}\, d\xi,
$$
$$
\int\limits_{-\infty}^{\infty}|f(x)|^2\, dx = \int\limits_{-\infty}^{\infty}|\hat f(\xi)|^2\, d\xi.
$$
拉普拉斯变换一些基本公式与定理
对于所有实数$t>0$，函数$f(t)$的拉普拉斯变换是函数$F(p)$，定义为：
$$
\mathcal L\{f(t)\} = F(p)=\int\limits_0^{+\infty} e^{-pt} f(t)\, dt.
$$
参数$p$是一个复数。
拉普拉斯变换数的一些性质：
- $\mathcal L\{\alpha f(t)+\beta g(t)\}=\alpha\mathcal L\{f(t)\} +\beta\mathcal L\{g(t)\}$ \qquad
{线性叠加};
- $\mathcal L\{f(\alpha t)\}(p)=\alpha^{-1} F(\alpha^{-1}p)$ 时间标度;
- $\mathcal L\{e^{-\alpha t} f(t)\}(p)=F(p+\alpha)$ $p$域平移;
- $\mathcal L\{f'\}(p)=pF(p)-f(0)$ 时域一阶微分;
- $\mathcal L\biggl\{\int\limits_0^t g(u)\,du\biggr\}= \frac{1}{p}G(p)$ 时域积分;
- $F'(p) = -\mathcal L \{tf(t)\}$ $p$域一阶微分;
- $\int\limits_{p}^{\infty}F(q)\,dq = \mathcal L\left\{\frac{f(t)}{t}\right\}$ $p$域积分;
- $\mathcal L\left\{\int\limits_{0}^{t}f(t-\tau)g(\tau)\, d\tau\right\} = F(p)\cdot G(p)$ 卷积。