Вопросы к экзамену 2016

1. Комплексные числа. Свойства основных операций. Комплексная плоскость. Полярные координаты. Вывод формулы Муавра.
2. Сфера Римана. Вывод формул стенографической проекции.
3. Топология комплексной плоскости. Окрестность точки. Понятия открытых и замкнутых множеств. Область, односвязная область, компакт.
4. Последовательности комплексных чисел. Понятие сходимости. Доказательство существования предела $\lim\limits_{n \to \infty} {\Bigl(1+\frac{z}{n} \Bigr)}^n$.
5. Комплексное дифференцирование. Определение аналитической функции. Доказательство необходимости и достаточности условий Коши-Римана.
6. Конформное отображение. Теорема о конформном отображении.
7. Дробно-линейное отображение.
8. Комплексный интеграл. Определение, основные свойства.
9. Интеграл по длине. Оценка комплексного интеграла.
10. Интегральная теорема Коши.
11. Интегральная формула Коши.
12. Интеграл типа Коши.
13. Связь аналитических и гармонических функций.
14. Теорема о среднем. Принцип максимума.
15. Теорема Морера.
16. Теорема об аналитичности степенного ряда.
17. Ряд Тейлора. Теорема Тейлора.
18. Ряд Лорана. Теорема Лорана.
19. Классификация изолированных особых точек.
20. Вычет функции в изолированной особой точке. Основная теорема теории вычетов.
21. Лемма Жордана.
22. Теорема Руше.
23. Теорема об аналитичности преобразования Лапласа.
24. Вывод асимптотической формулы Стирлинга для $n!$.
25. Лемма о принципе локализации.
26. Лемма Морса.
27. Лемма Ватсона.
28. Асимптотика $\Gamma$-функции.
29. Асимптотика интеграла Фурье.
30. Лемма Эрдейи.

Билет будет состоять из двух теоретических вопросов и дополнительной задачи. За каждый вопрос и задачу можно получить максимум 50 баллов. Далее баллы полученные на экзамене суммируются с баллами полученными за семестровые задания. Итоговая оценка выставляется в соответствии со следующей таблицей.

Небольшие отклонения возможны и остаются на усмотрение экзаменатора.

По всем вопросам и замечаниям пишите nikita2.evseev@gmail.com