Лекция 2. 14 сентября 2016


Последовательности комплексных чисел

Комплексное число $a$ называется пределом последовательности комплексных чисел $\{z_n\}$, если для любого числа $\varepsilon > 0$ найдется такой номер $n_0=n_0(\varepsilon)$, что для всех $n > n_0$ выполняется неравенство $$ |z_n - a| < \varepsilon.$$ При этом используются стандартные обозначения $$\lim\limits_{n \to \infty}\, z_n = a,$$ либо $$ z_n \to a \ \ \ \mbox{ при}\ \ \ n \to \infty. $$

Всякой последовательности комплексных чисел $\{z_n\}$ соответствуют две последовательности действительных чисел $\{x_n\}$ и $\{y_n\}$, где $z_n=x_n+ iy_n.$ Из оценок $$|\operatorname{Re}\, z|\le |z|, \ \ \ |\operatorname{Im}\, z|\le |z|,\ \ \ |z|\le |\operatorname{Re}\, z| + |\operatorname{Im}\, z|$$ следует, что для существования предела $\lim\limits_{n \to \infty}\, z_n = a= \alpha +i \beta$ необходимо и достаточно существование двух пределов $$\lim\limits_{n \to \infty}\, x_n = {\alpha},\ \ \lim\limits_{n \to \infty}\, y_n = {\beta}.$$ Теперь несложно показать, что для последовательностей комплексных чисел выполняются следующие свойства: пусть $\lim\limits_{n \to \infty}\, z_n = a$ и $\lim\limits_{n \to \infty}\, w_n = b,$ тогда
1. $\lim\limits_{n \to \infty}\,(z_n+ w_n) = a+b,$
2. $\lim\limits_{n \to \infty}\,(z_n w_n) = ab,$
3. если $b\ne 0$, то $\lim\limits_{n \to \infty}\, \frac{\displaystyle z_n}{\displaystyle w_n} =\frac{\displaystyle a}{\displaystyle b}.$
Также верны такие классические утверждения о пределах, как критерий Коши и принцип Больцано-Вейерштрасса.

С другой стороны, всякой последовательности комплексных чисел $\{z_n\}$ можно сопоставить две последовательности действительных чисел $\{r_n\}$ и $\{{\varphi}_n\},$ где $z_n=r_n(\cos {\varphi}_n + i \sin {\varphi}_n).$ Если $\lim\limits_{n \to \infty}\, r_n = r_0 \ \mbox{ и } \ \lim\limits_{n \to \infty}\, {\varphi}_n = {\varphi}_0,$ то, очевидно, $$\lim\limits_{n \to \infty}\, z_n = z_0 = r_0(\cos {\varphi}_0 + i \sin {\varphi}_0).$$ Если $\lim\limits_{n \to \infty}\, z_n = z_0,$ то из неравенства $||z_n|-|z_0|| \le |z_n-z_0|$ следует, что $\lim\limits_{n \to \infty}\,|z_n| = |z_0|,$ при этом нельзя в общем случае утверждать, что последовательность $\{{\varphi}_n = \operatorname{Arg} z_n\}$ сходится, поскольку аргумент комплексного числа определяется неоднозначно.

Комплексная экспонента

В случае одного действительного переменного экспонента $f(x)=e^x$ определяется различными способами: значение предела $$ \lim\limits_{n \to \infty} {\Bigl(1+\frac{x}{n} \Bigr)}^n, $$ сумма ряда $$ \sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!}, $$ решение задачи Коши $$ \begin{cases} f'(x) = f(x)\\ f(0)=1. \end{cases} $$ По аналогии мы можем определить комплексную экспоненту. Пусть $z=x+iy$, рассмотрим предел \begin{equation}\label{limexp} \lim\limits_{n \to \infty} {\Bigl(1+\frac{x}{n} \Bigr)}^n. \end{equation} Если этот предел существует в некоторой точке $z$, обозначим его значение через $e^z$.

Предел \eqref{limexp} существует для всех $z\in\mathbb C$.
$$\Bigl|{\Bigl(1+\frac{z}{n} \Bigr)}^n \Bigr| = {\Bigl(1+\frac{2x}{n}+\frac{x^2+y^2}{n^2} \Bigr)}^{n/2}= e^{\frac{n}{2}\ln(1+\frac{2x}{n}+\frac{x^2+y^2}{n^2})}= e^{\frac{n}{2}(\frac{2x}{n}+\frac{x^2+y^2}{n^2})}= e^{x + o(1/n)}.$$ и, следовательно, $$ \lim\limits_{n \to \infty} \Bigl| {\Bigl(1+\frac{z}{n} \Bigr)}^n \Bigr|= e^x. $$ При достаточно больших значениях $n$ точка $\Bigl(1+\frac{z}{n} \Bigr)$ лежит в правой полуплоскости, поэтому будем считать, что $\operatorname{Arg}\Bigl(1+\frac{z}{n} \Bigr)$ равен арктангенсу отношения мнимой части к действительной и лежит в интервале $ \Bigl(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2} \Bigr).$ Тогда $$\lim\limits_{n \to \infty} \operatorname{Arg} {\Bigl(1+\frac{z}{n} \Bigr)}^n = \lim\limits_{n \to \infty} n\, \operatorname{arctg} \frac{y/n}{1+x/n} = y.$$ Следовательно $$|e^z|= e^{\operatorname{Re} z}=e^x,\ \ \ \operatorname{Arg}e^z =\operatorname{Im}z=y$$ и $$e^z =e^{x+iy} = |e^z|(\cos (\operatorname{Arg}e^z) + i\sin (\operatorname{Arg}e^z)) = e^x(\cos y + i\sin y).$$

Таким образом введенная нами функция на действительной оси (т.е. при $y=0$) совпадает с обычной экспонентой действительного переменного, а при $x=0$ получаем формулу Эйлера $$e^{iy} = \cos y + i\sin y.$$ Комплексная экспонента сохраняет многие свойства обычной экспоненты.

Докажите свойство $e^{z_1+z_2} = e^{z_1}\cdot e^{z_1}$.

Кроме того комплексная экспонента является периодической функцией, только её период комплексное число - $2\pi i$: $$ e^{z+2\pi ki} = z \quad \text{ для всех } k\in\mathbb Z. $$ Также отметим ещё одно интересное равенство $e^{i\pi}=-1$.

Используя комплексную экспоненту можно получить запись числа в показательной форме: $z=\rho e^{i\varphi}$, которая является более компактной, чем тригонометрическая запись.



Функции комплексного переменного

Если каждому числу $z$ из некоторого множества $E\subset\mathbb C$ поставлены в соответствие одно или несколько комплексных чисел $w$, то говорят, что на множестве $E$ задана функция $f(z)=w$ комплексного переменного.

Любая функция комплексного переменного может быть записана в виде \begin{equation*} f(z) = u(z) + iv(z) \quad \text{или} \quad f(x+iy) = u(x,y) + iv(x,y), \end{equation*} где $u(x,y)$, $v(x,y)$ --- действительнозначные функции. Функция $u$ называется действительной частью $f$ и обозначается $u=\operatorname{Re} f$, $v$ --- мнимая часть $f$ и обозначается $v=\operatorname{Im} f$.

$$ f(z) = z^2 = x^2-y^2 + i2xy. $$ $$ f(z) = e^z = e^x\cos y + ie^x\sin y. $$

Напомним:

Функция $f:G\to H$ называется взаимно однозначной, если для каждого $w\in H$ найдётся единственное число $z\in G$ такое, что $f(z)=w$.
Если $f:G\to H$ взаимно однозначная функция, то существует обратная функция $g=f^{-1}$, $g:H\to G$ такая, что $f(g(w))=w$ для всех $w\in H$.

Предел функции

Число $\lambda\in \mathbb C$ называется пределом функции $f(z)$ в точке~$z_0$ $$\lim\limits_{z\to z_0}f(z) = \lambda,$$ если для любого $\varepsilon>0$ найдётся такое $\delta>0$, что для всех чисел $z$ таких, что $0<|z-z_0|<\delta$ выполняется неравенство $|f(z)-\lambda|<\varepsilon$. Если такого числа $\lambda$ нет, то мы говорим, что предела $\lim\limits_{z\to z_0}f(z)$ не существует.

Для существования предела функции $f(z)$ в точке $z_0=x_0+iy_0$ необходимо и достаточно одновременное существование пределов функций $u(x,y)$ и $v(x,y)$ в точке $(x_0,y_0)$: \begin{equation*} \lim\limits_{(x,y)\to(x_0,y_0)}u(x,y) = a \quad \text{ и } \quad \lim\limits_{(x,y)\to(x_0,y_0)}v(x,y) = b, \end{equation*} где $\lambda=a+ib$.

Показать, что предела $\lim\limits_{z\to 0}\dfrac{\overline{z}}{z}$ не существует.

Непрерывные функции

Функция $f(z)$ называется непрерывной в точке $z_0$, если \begin{equation*} \lim\limits_{z\to z_0}f(z) = f(z_0). \end{equation*}

Функция называется непрерывной на некотором множестве, если она непрерывна в каждой точке этого множества. Непрерывность функции $f(z)$ в точке $z_0=x_0+iy_0$, как функции комплексного переменного $z$, эквивалентна одновременной непрерывности функций $u(x,y)$ и $v(x,y)$ в точке $(x_0,y_0)$, как функций двух действительных переменных. Отсюда следует, что многие свойства непрерывных функций двух действительных переменных непосредственно переносятся на непрерывные функции комплексного переменного. А именно, сумма, разность, произведение и частное двух непрерывных функций также являются непрерывными функциями (в случае частного исключаются те точки, в которых делитель обращается в нуль). Если функция $w=f(z)$ непрерывна на множестве $E$ и её значения принадлежат множеству $F$, на котором непрерывна функция $\zeta=g(w)$, то \textit{сложная функция $\zeta= g(f(z))=h(z)$ также непрерывна на $E$}. Очевидно, что функции $z^2$, $\bar z$, $e^z$ непрерывны на всей комплексной плоскости $\mathbb C$.



Комплексное дифференцирование

Пусть $D\subset\mathbb C$ - открытое множество и $z_0\in D$.

Функция $f:D\to\mathbb C$ называется дифференцируемой в точке $z_0$, если существует предел \begin{equation}\label{derivative} \lim\limits_{z\to z_0}\frac{f(z)-f(z_0)}{z-z_0}. \end{equation}

Эквивалентное определение дифференцируемости в точке $z_0$: существует константа $\lambda\in\mathbb C$ такая, что $$ f(z_0+h) = f(z_0) + \lambda h + o(h). $$ При условии существования, предел \eqref{derivative} (и константа $\lambda$) называются производной в точке $z_0$ и обозначается $$ f'(z_0) \quad\text{или}\quad \frac{df}{dx}(z_0). $$

Если функция $f$ дифференцируема в некоторой окрестности $B(z_0,r)$ точки $z_0$, то $f$ называется аналитическая в точке $z_0$ (Для данного понятия также используется термин голоморфная в точке функция.) Функция $f$ называется аналитической (дифференцируемой) на открытом множестве $\Omega\subset\mathbb C$, если $f$ дифференцируема в каждой точке $z\in\Omega$. Если функция $f$ дифференцируема на некотором множестве $E\subset\mathbb C$, то на этом множестве определена функция, называемая производной: $$ f'(z) = \lim\limits_{t\to z}\frac{f(t)-f(z)}{t-z}. $$ Функция аналитическая (дифференцируемая) всюду на $\mathbb C$ называется целой. Особо отметим, что если функция дифференцируема, то она и непрерывна. То же самое можно сформулировать иначе, если функция не является непрерывной, то она не дифференцируема. Очевидно, что комплексная экспонента $f(z) = e^z$ --- дифференцируемая функция.

Доказать, что $\dfrac{d e^z}{dz}(z) = e^z$.

Например функция $f(z)=\overline{z}$ нигде не дифференцируема. Действительно, $$ \lim\limits_{z\to z_0}\frac{\overline{z}-\overline{z_0}}{z-z_0} = \lim\limits_{z\to z_0}\frac{\overline{z-z_0}}{z-z_0} = \lim\limits_{h\to0}\frac{\overline{h}}{h}. $$ Как мы показали в примере выше последний предел не существует.

В свою очередь функция $f(z)=\overline{z}^2$ дифференцируема при $z_0=0$ и не дифференцируема при $z_0\ne0$. Покажем это. 1. Если $z_0=0$, то $$ f'(0) = \lim\limits_{h\to0}\frac{\overline{h}^2}{h} =\lim\limits_{h\to0}\overline{h}\frac{\overline{h}}{h}=0. $$ 2. Пусть $z_0\ne 0$. Положим $z=z_0+re^{i\varphi}$ (тогда $z\to z_0$ при $r\to0$). Имеем \begin{multline*} \frac{\overline{z}^2-\overline{z_0}^2}{z-z_0} = \frac{(\overline{z_0+re^{i\varphi}})^2-\overline{z_0}^2}{z_0+re^{i\varphi}-z_0} = \frac{(\overline{z_0}+re^{-i\varphi})^2-\overline{z_0}^2}{z_0+re^{i\varphi}-z_0} = \\ \frac{\overline{z_0}^2 +2\overline{z_0}re^{-i\varphi} +r^2e^{-2i\varphi}-\overline{z_0}^2}{z_0+re^{i\varphi}-z_0} =\\ \frac{2\overline{z_0}r2e^{-i\varphi} +r^2e^{-2i\varphi}}{re^{i\varphi}} = 2\overline{z_0}e^{-2i\varphi} + re^{-3i\varphi} \end{multline*} Тогда $$ \lim\limits_{z\to z_0}\frac{\overline{z}^2-\overline{z_0}^2}{z-z_0} = \lim\limits_{r\to0}(2\overline{z_0}e^{-2i\varphi} + re^{-3i\varphi}) = 2\overline{z_0} \quad \text{при $\varphi=0$}, $$ и $$ \lim\limits_{z\to z_0}\frac{\overline{z}^2-\overline{z_0}^2}{z-z_0} = \lim\limits_{r\to0}(2\overline{z_0}e^{-2i\varphi} + re^{-3i\varphi}) = -2\overline{z_0} \quad \text{при $\varphi=\pi/2$}. $$ Таким образом, $f(z) = \overline{z}^2$ не дифференцируема в $z_0\ne0$.

Для комплексной производной выполняются стандартные свойства. Пусть $f,g$ - дифференцируемые функции, тогда

  • $(f \pm g)'(z) = f'(z) \pm g'(z)$ свойство линейности;
  • $(f \cdot g)'(z) =f'(z)\cdot g(z) + f(z)\cdot g'(z)$ правило Лейбница;
  • $\left(\dfrac{f}{g}\right)'(z) = \dfrac{f'(z)\cdot g(z) - f(z)\cdot g'(z))}{(g(z))^{2}}$ производная отношения;
  • $(f(g(z)))' = f'(g(z))\cdot (g'(z))$ производная композиции.



    Условия Коши-Римана

    Рассмотрим функцию $f(z) = f(x,y) = u(x,y) + iv(x,y)$, тогда частные производные имеют вид $$ \frac{\partial f}{\partial x}(z) = u_x(x,y) + iv_x(x,y), \quad \frac{\partial f}{\partial y}(z) = u_y(x,y) + iv_y(x,y). $$ Следующая теорема устанавливает связь межу комплексной производной $f'(z)$ и частными производными $f_x$, $f_y$ и, что более важно, описывает необходимые и достаточные условия дифференцируемости функции $f$ в смысле комплексного переменного.

    1) Пусть $f$ - дифференцируема в точке $z_0=x_0+iy_0$. Тогда частные производные удовлетворяют условию \begin{equation}\label{CR} \frac{\partial f}{\partial x}(z_0) = - i\frac{\partial f}{\partial y}(z_0). \end{equation} 2) Пусть $f$ - комплексная функция и её частные производные $f_x$ и $f_y$ существуют в окрестности $z_0$ и непрерывны в $z_0$. Если частные производные удовлетворяют условию \eqref{CR}, то функция $f$ дифференцируема в точке $z_0$.
    В обоих случаях $1)$ и $2)$ производную можно записать в виде $$ f'(z_0) = \frac{\partial f}{\partial x}(z_0). $$
    $1)$ Если $f$ дифференцируема в точке $z_0=x_0+iy_0$, то предел $$ f'(z)=\lim\limits_{\Delta z\to 0}\frac{f(z+\Delta z)-f(z)}{\Delta z} $$ существует и не зависит от того, каким образом $\Delta z$ стремится к нулю. Положим $\Delta z = \Delta x + i\Delta y$. Рассмотрим два случая: a) $\Delta x\to 0, i\Delta y=0$ и b) $\Delta x= 0, i\Delta y\to 0$.
    Имеем \begin{multline*} a) \quad f'(z_0) = \lim\limits_{\Delta x\to 0}\frac{f(z_0+\Delta x)-f(z_0)}{\Delta x} =\\= \lim\limits_{\Delta x\to 0}\frac{f(x_0+\Delta x,y_0)-f(x_0,y_0)}{\Delta x} = \frac{\partial f}{\partial x}(z_0), \end{multline*} \begin{multline*} b) \quad f'(z_0) = \lim\limits_{i\Delta y\to 0}\frac{f(z_0+\Delta y)-f(z_0)}{i\Delta y} =\\= \lim\limits_{\Delta y\to 0}\frac{f(x_0,y_0+\Delta y)-f(x_0,y_0)}{i\Delta y} = -i\frac{\partial f}{\partial y}(z_0). \end{multline*} Таким образом, условие \eqref{CR} выполнено.

    $2)$ Пусть теперь функция $f(z) = f(x,y)$ такова, что частные производные $f_x$ и $f_y$ существуют в окрестности $z_0$ и непрерывны в $z_0$ и выполнено условие \eqref{CR}. Требуется доказать, что $f(z)$ дифференцируема в точке $z_0$. Фактически, мы покажем, что $f'(z_0) = f_x(z_0)$. Имеем \begin{multline*} \frac{f(z_0+\Delta z)-f(z_0)}{\Delta z} =\\= \frac{f(z_0+\Delta z) - f(z_0+\Delta x) + f(z_0+\Delta x) -f(z_0)}{\Delta z} =\\= \frac{\Delta y}{\Delta z}\cdot\frac{f(z_0+\Delta x + i\Delta y) - f(z_0+\Delta x)}{\Delta y} +\frac{\Delta x}{\Delta z}\cdot\frac{f(z_0+\Delta x) -f(z_0)}{\Delta x}. \end{multline*} Легко видеть, что при $\Delta z \to 0$ $$ \frac{f(z_0+\Delta x) -f(z_0)}{\Delta x} \to f_x(z_0). $$ Заметим, что \begin{multline*} \frac{f(z_0+\Delta x + i\Delta y) - f(z_0+\Delta x)}{\Delta y} = \\ \frac{f(z_0+\Delta x) + f_y(z_0+\Delta x)\Delta y + o(\Delta y) - f(z_0+\Delta x)}{\Delta y} = f_y(z_0+\Delta x) + o(1). \end{multline*} Поэтому и в силу непрерывности $f_y$ $$ \frac{f(z_0+\Delta x + i\Delta y) - f(z_0+\Delta x)}{\Delta y} \to f_y(z_0) \quad\text{ при } \Delta z\to 0. $$ Далее \begin{multline*} f_x(z_0) = \frac{\Delta z}{\Delta z}f_x(z_0) = \frac{\Delta x + i\Delta y}{\Delta z}f_x(z_0)=\\= \frac{\Delta x}{\Delta z}f_x(z_0) + \frac{\Delta y}{\Delta z}if_x(z_0) = \frac{\Delta x}{\Delta z}f_x(z_0) + \frac{\Delta y}{\Delta z}f_y(z_0). \end{multline*} В последнем переходе мы воспользовались равенством $if_x(z_0) = f_y(z_0)$ $($которое следует из \eqref{CR}$)$. Тогда \begin{multline*} \lim\limits_{\Delta z\to 0}\frac{f(z+\Delta z)-f(z)}{\Delta z} - f_x(z_0) = \\= \lim\limits_{\Delta z\to 0}\left[\frac{\Delta y}{\Delta z}\left(\frac{f(z_0+\Delta x + i\Delta y) - f(z_0+\Delta x)}{\Delta y} - f_y(z_0) \right)\right] + \\+ \lim\limits_{\Delta z\to 0}\left[\frac{\Delta x}{\Delta z}\left(\frac{f(z_0+\Delta x) -f(z_0)}{\Delta x} - f_x(z_0) \right)\right] = 0, \end{multline*} здесь мы воспользовались тем, что $|{\Delta x}/{\Delta z}|\leq 1$, $|{\Delta y}/{\Delta z}|\leq~1$. В итоге $f'(z_0) = f_x(z_0)$. Теорема доказана.
    Обычно \eqref{CR} записывают в виде \begin{equation}\label{CR1} \frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y}, \qquad \frac{\partial u}{\partial y} = - \frac{\partial v}{\partial x}. \end{equation} и называют условиями Коши-Римана.

    Является ли дифференцируемой функция $f(z)=y + ix$? Находим $u=y, v=x, \dfrac{\partial u}{\partial x} = 0, \dfrac{\partial u}{\partial y} = 1, \dfrac{\partial v}{\partial x} =1, \dfrac{\partial v}{\partial y} = 0 $. Видим, что одно из условий Коши-Римана не выполняется. Значит, данная функция не является дифференцируемой.