|
Весенний семестр |
|
Лекция 1: |
Часть 1.
Разрешимость системы линейных уравнений.
Теорема об обратной функции. Примеры.
Часть 2.
Примеры (продолжение). Теорема о неявной
функции. Примеры. |
|
Лекция 2: |
Часть 1.
Примеры (продолжение). Пример о двойном
математическом маятнике.
Часть 2.
Диффеоморфизмы. Полярная система координат.
Цилиндрические координаты. Сферическая
система координат. |
|
Лекция 3: |
Часть 1.
Замена переменных в дифференциальных
выражениях. Пример записи оператора Лапласа.
Часть 2.
Радиальное решение уравнения Лапласа.
Интеграл Римана. Геометрическая
интерпретация многомерного интеграла. Суммы
Дарбу. |
|
Лекция 4: |
Часть 1.
Критерий Дарбу. Определение меры Жордана и
множеств, измеримых по Жордану. Пример
множества, неизмеримого по Жордану. Свойства
меры Жордана и интеграла Римана.
Часть 2.
Суммирование мелочи по Лебегу. Соображения о
монотонности. Элементарное множество и его
мера. Определение кольца, алгебры и
σ-алгебры. Примеры. |
|
Лекция 5: |
Часть 1.
Определение меры. Определение внешней меры
Лебега и ее свойства. Определение измеримого
множества и его свойства. Определение
измеримого множества и меры Лебега в Rn.
Часть 2.
Примеры. Множества меры ноль. Определение
измеримой функции. Свойства измеримых
функций. Определение простой функции.
Определение интеграла от простой функции. |
|
Лекция 6: |
Часть 1.
Определение интеграла Лебега. Свойства
интеграла Лебега. Связь интегралов Римана и
Лебега. Определение кратного и повторного
интегралов.
Часть 2.
Теорема Фубини. Теорема Тонелли. Примеры.
Формула замены переменной. |
|
Лекция 7: |
Часть 1
Геометрический смысл якобиана. Якобианы
классических систем координат. Элементы
площади и объема в декартовых координатах.
Элемент площади в полярных координатах.
Часть 2.
Элемент площади в полярных координатах
(продолжение). Элемент объема в
сферических координатах. Интегрирование
степенных особенностей. Примеры. |
| Лекция 8: |
Часть 1.
Определение интеграла, зависящего от
параметра (ИЗОП). Теорема Лебега о
мажорируемой сходимости. Теорема о
дифференцируемости ИЗОП. Примеры.
Часть 2.
Пример, в котором ИЗОП разрывен. Пример:
непрерывность и дифференцируемость
потенциала простого слоя. |
|
Лекция 9: |
Часть 1.
Пример: непрерывность и дифференцируемость
потенциала простого слоя (продолжение).
Часть 2.
Вычисление интеграла дифференцированием и
интегрированием по параметру. Пример:
интеграл Дирихле. Формула дифференцирования
ИЗОП с переменными пределами. Пример:
оператор интегрирования. |
|
Лекция 10: |
Часть 1.
Определение элементарного гладкого k-мерного
многообразия в Rn. Примеры.
Пример неэлементарных многообразий.
Определение гладкого многообразия (с краем
или без) в Rn.
Часть 2.
Примеры. Теорема о крае многообразия. Край и
граница. Теорема о задании многообразия
системой уравнений. |
|
Лекция 11: |
Часть 1.
Теорема о задании многообразия системой
уравнений (продолжение). Теорема об
эквивалентности параметризаций. Определение
касательного вектора и касательного
пространства. Теорема о касательном
пространстве.
Часть 2.
Примеры. Теорема о касательном пространстве
к неявно заданному многообразию. Примеры.
Определение условного экстремума. |
|
Лекция 12: |
Часть 1.
Необходимые условия экстремума (принцип
множителей Лагранжа). Примеры.
Часть 2.
Достаточные условия условного экстремума.
Определение интеграла по многообразию.
Интеграл вдоль кривой. |
|
Лекция 13: |
Часть 1.
Элемент длины дуги в полярных координатах.
Интеграл по поверхности. Элемент площади на
сфере в декартовых и сферических
координатах. Теорема о независимости
интеграла от параметризации.
Часть 2.
Определение ориентации векторного
пространства. Определение ориентации на
многообразии. Ориентируемые и
неориентируемые многообразия. Лист Мёбиуса.
Согласованная параметризация. |
|
Лекция 14: |
Часть 1.
Определение внешней нормали к краю
многообразия. Определение индуцированной
ориентации края. Примеры.
Часть 2.
Определение внешней нормали к (n-1)-мерному
многообразию. Ориентация (n-1)-мерного
многообразия. Пример: нахождение работы
вдоль кривой и потока через кривую.
Выражение внешней нормали через
параметризацию. Пример: нахождение потока
поля через ориентированную поверхность. |
|
Лекция 15: |
Часть 1.
Геометрический смысл вектора внешней
нормали. Многомерный аналог формулы
Ньютона-Лейбница.
Часть 2.
Пример. Формула Гаусса-Остроградского.
Формула Грина. Формула Стокса. |
|
Лекция 16: |
Часть 1.
Формула Стокса (доказательство).
Часть 2.
Определение градиента, ротора, дивергенции,
лапласиана. Определение оператора
Гамильтона. Физический смысл формулы
Гаусса-Остроградского и дивергенции.
Физический смысл формулы Стокса и ротора. |
|
Лекция 17: |
Часть 1.
Определение потенциального поля. Теорема о
потенциальных полях.
Часть 2.
Определение соленоидального поля. Теорема о
соленоидальных векторных полях. Пример:
электростатическое поле точечного заряда.
Пример: магнитное поле элементарного тока. |
|
Лекция 18: |
Часть 1.
Пример: магнитное поле элементарного тока
(продолжение). Замечание о работе и потоке.
Определение дифференциальной формы.
Замечание о dx и дифференциале функции.
Часть 2.
Определение внешнего произведения 1-форм.
Теорема о базисе в пространстве k-форм.
Связь между полями и формами. |
|
Лекция 19: |
Часть 1.
Связь между полями и формами (продолжение).
Соответствие между векторным произведением и
внешних произведением форм. Определение
операций φ*
и φ*. Определение интеграла от формы по
многообразию. Интеграл от формы работы.
Интеграл от формы потока.
Часть 2.
Интеграл от формы потока (продолжение).
Определение дифференциала k-формы.
Соответствие между дифференциалом формы и
векторными операциями grad, rot, div.
Обобщенная формула Стокса. Классические
интегральные формулы как следствия
обобщенной формулы Стокса. |
|
Лекция 20: |
Часть 1.
Лемма Пуанкаре. Аналогия между
многообразиями и формулами. Векторные
операции в криволинейных координатах. Связь
между производными в старых и новых
координатах.
Часть 2.
Скалярное произведение и метрический тензор.
Ортогональные системы координат.
Коэффициенты Ламе. Запись grad в
криволинейных координатах. |
|
Лекция 21: |
Часть 1.
Запись rot и div в ортогональных
координатах. Пример: запись электрического
поля точечного заряда в сферических
координатах.
Часть 2.
Пример: магнитное поле прямой с током в
цилиндрических координатах. Комплексные
числа. Определение предела
последовательности комплексных чисел.
Определение предела функции. Определение
производной комплексной функции. Условия
Коши-Римана. |
|
Лекция 22: |
Часть 1.
Условия Коши-Римана (продолжение). Примеры.
Определение интеграла от аналитической
функции. Теорема об интеграле от
аналитической функции. Определение
гармонической функции.
Часть 2.
Примеры. Формула Грина. |
|
Лекция 23: |
Часть 1.
Теорема о среднем. Принцип максимума для
гармонических функций. Закон Гаусса.
Часть 2.
Определение поточечной и равномерной
сходимости функциональных
последовательностей. Примеры. Теорема о
равномерном пределе непрерывной функции. |
|
Лекция 24: |
Часть 1.
Определение равномерной нормы. Определение
поточечной и равномерной сходимости
функционального ряда. Теорема о
непрерывности суммы ряда. Теорема о
дифференцируемости функционального ряда.
Теорема об интегрируемости функционального
ряда. Критерий Коши для функциональных
рядов. Признак Вейерштрасса.
Часть 2.
Признак Вейерштрасса (продолжение). Примеры.
Определение степенного ряда. Определение
верхнего предела. Теорема о сходимости
степенного ряда. |
|
Лекция 25: |
Часть 1.
Определение радиуса сходимости степенного
ряда. Сходимость на границе области
сходимости. Примеры. Теорема о
дифференцируемости степенного ряда. Теорема
об интегрируемости степенного ряда.
Часть 2.
Примеры. Пример: функция Бесселя.
Определение ряда Тейлора. Теорема о рядах
Тейлора элементарных функций. Формула
Эйлера. |