Римановы поверхности в 3D

Логарифмические точки ветвления изображены вертикальными прямыми.

Арктангенс

Функция Гудермана $w = \operatorname{gd} z$

Чтобы меньше пугаться: с точностью до линейных замен можно считать, что это функция $w(z) = \operatorname{Ln} \tg z$. Явных формул много; некоторые приведены в конспекте лекций. Из параметрического задания $$ z(t) = 2\operatorname{Arth} t = \operatorname{Ln}\tfrac{1+t}{1-t}, \quad w(t) = 2\operatorname{Arctg} t = i\operatorname{Ln}\tfrac{i+t}{i-t} $$ видна периодичность поверхности по двум направлениям: $\operatorname{Im} z$ и $\operatorname{Re} w$, а также симметрия между $z$ и $w$.

Только поверхность:

Поверхность с сеткой линий, являющейся образом полярной сетки плоскости параметра $t$:

Для этих картинок риманова поверхность спроецирована из 4D в 3D по правилу $(z,w) \mapsto (\operatorname{Re} z,\operatorname{Im} z,\operatorname{Re} w)$, то есть просто забыта координата $\operatorname{Im} w$. Когда картинка повернута так, что камера смотрит вдоль оси $\operatorname{Re} z$, визуально восстанавливается симметрия $z \leftrightarrow w$. При этом уходящие на $\pm\infty$ плоские участки проецируются в линии, аналогичные линиям, изображающим логарифмические точки ветвления функции $w(z)$ и выделенным цветом на поверхности без сетки. Природа этих исходных линий такова же, ведь координата $\operatorname{Im} w$ сразу отброшена! Значит, каждый плоский участок картинки подходит в пределе $\pm\infty$ к логарифмической точке ветвления обратной функции $z(w)$, отличающейся от функции $w(z)$ двумя поворотами: $G(iz) = iF(z)$ в конспекте лекций.