Линейные автономные системы третьего порядка

Для однородной линейной системы обыкновенных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами и характеристическим полиномом $t^3 + xt^2 + yt + z$, в пространстве параметров $(x,y,z)$ нарисована схема типов поведения траекторий. Схема представлена в шаре радиуса 18 с центром в начале координат. Нажмите на картинки для перехода к 3д. Пояснения ниже.

Границами зон основных типов являются следующие поверхности:

Согласно критерию Рауса -- Гурвица, устойчивы в точности системы, попадающие в зону $x>0$, $xy>z>0$ между жёлтой четвертью плоскости и возвышающейся над ней четвертью зелёного параболоида. Иными словами, у всех таких систем точка покоя в начале координат является стоком. Между плоскостью и ребром возврата дискриминанта лежит остроугольная подзона систем с тремя отрицательными вещественными собственными числами (аналоги узлов), а остальная часть зоны стоков занята аналогами фокусов.

Симметрично зоне стоков, между частью красной плоскости и тёмной частью параболоида расположена зона источников, таким же образом разделённая синим дискриминантом на подзоны с аналогами узлов и фокусов.

Большую часть пространства параметров занимают аналоги сёдел в том смысле, что такие точки имеют как входящие траектории, так и выходящие. Они делятся на 4 основных типа соответственно поведению входящих и выходящих траекторий:

Границей между вторым и третьим типами служит красная плоскость. Границей между остальными типами опять служит синий дискриминант. Приближаясь к зелёному параболоиду с любой стороны, фокусы в пределе переходят в центры. Приближаясь к синему дискриминанту, фокусы и узлы в пределе переходят в вырожденные и дикритические узлы.