11 Общее решение уравнения Пуассона

§11 Общее решение уравнения Пуассона

Если система зарядов сосредоточена в ограниченном объёме можно указать общее решение уравнения Пуассона (10.1). В соответствии с принципом суперпозиции скалярный потенциал системы точечных зарядов равен сумме потенциалов, создаваемых полем каждого заряда в отдельности:

ϕ(r→) = ∑ j q ∣r→ −r→j∣ .

(11.1)

Рис. 1.23:
Переходя к непрерывному распределению зарядов этот результат можно представить в виде интеграла

ϕ(r→) = ∫ V ρ(r′→)dV ′ ∣r→ −r′→∣ ,

(11.2)

где r→, r′→ — радиусы-векторы точки наблюдения и элементарного объёма dV ′, соответственно (рис. 1.23). Интеграл распространяется на весь объём, где плотность зарядов ρ не равна нулю. Формулу (11.2) называют общим решением уравнения Пуассона. В теории она играет очень важную роль, но в практических вычислениях используется редко. Часто бывает удобнее использовать приближенные формулы, полученные на её основе.

Покажем теперь, как совершить обратный переход и из общего решения уравнения Пауссона (11.2) получить потенциал точечного заряда. Для этого необходимо признать необычные свойства функции плотности заряда ρ(r→): она равна нулю всюду, кроме точки, где расположен заряд, однако, будучи проинтегрированной по объему, даёт конечное значение заряда «точки». Таким свойствами обладает дельта-функция, введённая английским физиком Дираком. Математики относят её к классу обобщенных функций. Для одного заряда q, расположенного в точке r→j, положим

ρ(r→) = q δ(r→ −r→j).

(11.3)

Трехмерная δ-функция δ(r→ − ρ(r→j) обладает следующими свойствами:

δ(r→ −r→j) всюду, кроме точки r→ = ρ(r→j);
∫ f(r→)δ(r→ −r→j)dV = f(r→j), где f(r→) — любая непрерывная функция; в частности, если f ≡ 1, то ∫ δ(r→ −r→j)dV = 1.

Подставляя (11.3) в общее решение (11.2), получаем

ϕ (r \to) = \int q δ (r \to' - r \to j) d V' ∣ r \to - r \to' ∣ = q ∣ r \to - r \to j ∣ .

Следовательно, для системы точечных зарядов из интеграла (11.2) получается сумма (11.1).

Сравнивая потенциал точечного заряда ϕ = q∕r (расположенного в точке r→j = 0) с уравнением для этого потенциала Δϕ = −4π q δ(r→), получаем важное для теории математическое представление δ-функции:

Δ1 r = −4πδ(r→) .

(11.4)

Рис. 1.24:

График функции exp(−x∕a2) πa при последовательно уменьшающихся значениях параметра a: 0,4, 0,2 и 0,1.

С физической точки зрения, распределение заряда в виде δ-функции есть объект предельно малых размеров, которыми можно пренебречь по сравнению с другими размерами задачи. При этом не исключено, что в другой задаче тот же объект нельзя будет считать малым. Существует множество представлений δ-функции, получаемых из гладких функций при предельных переходах. Например:

δ (r \to) = lim a \to 0 exp (- r 2 ∕ a 2) (π a 2) 3 ∕ 2 .

Наряду с трехмерной δ-функцией вводят также δ-функции других размерностей. Например, одномерная δ-функция используется для описания поверхностного распределения заряда:

ρ(x) = σ δ(x).

(11.5)

Её также можно представить в виде предельного перехода; например:

δ (x \to) = lim a \to 0 exp (- x ∕ a 2) π a .

Одномерная δ-функция обладает свойствами, аналогичными свойствам трехмерной δ-функции:

δ(x) = 0 всюду, кроме x = 0;
∫ f(x)δ(x)dx = f(0).

Однако аналога представления (11.4) для неё не существует. Заметим также, что

δ (r \to) = δ (x) δ (y) δ (z) .

Для полноты картины осталось проверить, что интеграл (11.2) действительно удовлетворяет уравнению Пуассона, т.е.

Δ \int V ρ (r \to') d V' ∣ r \to - r \to' ∣ = - 4 π ρ (r \to) .

Для этого заметим, что оператор Δ можно внести под знак интеграла, поскольку Δ подразумевает дифференцирование по координатам r→, а интегрирование производится по r→′. Далее воспользуемся соотношением (11.4) и свойствами δ-функции:

Δϕ = ∫ ρ(r→′)Δ 1 ∣r→ −r→′∣ dV ′ = ∫ ρ(r→′)[ − 4π δ(r→ −r→′)]dV ′ = −4πρ(r→).

▸Задача 11.1

Проверить, что ∫ exp(−x2 ) πa dx = 1, ∫ exp(−r2 ∕a2) (πa2)3∕2 dV = 1.

[next] [prev] [prev-tail] [front] [up]