15 Энергия взаимодействия электрических зарядов

§15 Энергия взаимодействия электрических зарядов

Пробный электрический заряд q во внешнем электрическом поле с потенциалом ϕ обладает потенциальной энергией (см. ??)

U(r→) = q ϕ(r→).

Предположим, что имеются два точечных заряда q1 и q2 на расстоянии r12 = r21 один от другого. Тогда второй заряд в поле первого обладает потенциальной энергией U12 = q1q2∕r12. Точно так же первый заряд в поле второго обладает потенциальной энергией U21 = q2q1∕r21. Очевидно, что U12 = U21. Очевидно также, что вопрос, какому заряду принадлежит потенциальная энергия здесь не уместен. Если позволить зарядам двигаться под действием силы кулоновского взаимодействия, то потенциальная энергия перейдет в кинетическую энергию зарядов в пропорции, зависящей от их масс и начальных скоростей, но не от соотношения зарядов. Потенциальная энергия является «общей», поэтому её называют энергией взаимодействия системы зарядов.

Энергию взаимодействия двух зарядов можно записать в симметричном виде

W = 12 [q 1 q 2 r 12 + q 2 q 1 r 21],

подчеркивающем равноправие зарядов. После этого обобщение на случай произвольного числа зарядов становится очевидным:

W = 1 2 ∑ j ∑ k≠jqjqk rjk = 1 2 ∑ j ∑ k≠jqjϕjk .

(15.1)

где ϕij = qk∕rjk — потенциал заряда qk в точке, где расположен заряд qj. Поскольку энергия взаимодействия каждой пары зарядов суммируется дважды, перед суммой поставлен коэффициент 1∕2. В отличие от потенциальной энергии U, которую в определенных ситуациях рассматривают как функцию координат, энергия взаимодействия W есть характеристика всей системы в целом; ей нельзя приписать координаты.

Формулу (15.1) можно представить в эквивалентной форме

W = 1 2 ∑ j=1Nq jϕj ,

(15.2)

где ϕj = ∑ k≠jϕjk — потенциал всех зарядов, кроме заряда qj, в том месте, где тот расположен. Отсюда уже нетрудно перейти к непрерывному распределению зарядов:

W = 1 2 ∫ V ρ(r→)ϕ(r→)dV .

(15.3)

Формула (15.3) имеет смысл, совершенно отличный от формул (15.1) и (15.2), так как помимо энергии взаимодействия зарядов включает ещё и собственную энергию каждого заряда. В этом можно убедится, если подставить в (15.3) плотность заряда

ρ (r \to) = \sum j q j δ (r \to - r \to j)

и потенциал

ϕ (r \to) = \sum k q k ∣ r \to - r \to k ∣

системы дискретных зарядов. Образовавшаяся двойная сумма

\sum j \sum k q j q k ∣ r \to - r \to k ∣

содержит слагаемые с j = k, которые для точечных зарядов обращаются в бесконечность. Мы обсудим проблему расходимости собственной энергии точечных зарядов в ??.

▸Задача 15.1

Вычислить электрическую энергию шара радиуса a, заряд которого q равномерно распределен по поверхности.

▸Задача 15.2

То же для шара, заряд которого равномерно распределен по объему.

[next] [prev] [prev-tail] [front] [up]