|
| |
1. Мы знаем, что если распределение зарядов в пространстве известно, то
распределение потенциала в принципе, также известно и задается
в виде интеграла (15) (или суммы, в случае точечных зарядов) |
ϕ(r→) = ∫ ρ(r→′
dV ′)
∣r→ −r→′∣ , ϕ(r→) = ∑
α qα
r→ −r→α′.
| (17.15) |
Для практических расчетов эти выражения обычно малополезны. Однако,
имеется важный случай – исследование поля на больших расстояниях от
системы зарядов, занимающих ограниченную область пространства –
когда из решения (15) получаются простые формулы мультипольного
разложения потенциала, справедливые при произвольном распределении
зарядов.
Итак, пусть некоторая система зарядов занимает ограниченную
область пространства с характерным размером
a
и начало координат находится где-то внутри этой области,
как показано на рис. 27. Тогда для радиусов-векторов
r→′ зарядов системы
и радиуса-вектора r→
далекой точки наблюдения, входящих в (15), справедливы оценки
r′≤ a,r ≫ a, которые
как раз и позволяют получить искомое разложение. Для этого рассмотрим дробь
1∕∣r→ −r→′∣ из (15).
Знаменатель дроби представим как расстояние от начала координат до точки с
координатами x − x′,y − y′,z − z′,
немного отличающимся от координат точки наблюдения
x,y,z. (На
рис. 27 это расстояние показано пунктирной прямой). По известному
правилу разложения функции трех переменных в ряд Тейлора отсюда
имеем
1
∣r→ −r→′∣ = 1
r(x − x′,y − y′,z − z′) =
|
= 1
r(x,y,z) + ∂
∂xi 1
r ⋅ (−xi′) + 1
2 ∂2
∂xi∂xj 1
r ⋅ xi′x
j′ + ...
| (17.26) |
Здесь использовано тензорное правило суммирования
по повторяющемуся индексу с использованием вместо
x′,y′,z′ и
x,y,z обозначений
xi′,
xi(i = 1,2,3).
Для начала ограничимся первыми двумя членами разложения
(26)
1
∣r→ −r→′∣ = 1
r + (−r→′) ⋅ grad 1
r = 1
r + r→′⋅r→
r3
и из (15) получим
ϕ(r→) ≈ Q
r + d→ ⋅r→
r3 ,
где
Q = ∫
ρ(r→′)dV ′Q = ∑
αqα ,
|
d→ = ∫
∫
∫
r→′ρ(r→′)dV ′d→ = ∑
αqα .
| (17.27) |
Здесь Q –
суммарный заряд и d→
– дипольный момент системы; в скобках соотвествующие выражения даны
для случая точечных зарядов.
Таким образом, на большом расстоянии от системы зарядов главный
член разложения
ϕ(0) = Q
r
определяется суммарным зарядом. Следовательно, на таких расстояниях поле
E→ совпадает с полем
точечного заряда Q,
находящегося в начале координат.
Следующий, дипольный член разложения |
ϕ(1) = d→ ⋅r→
r3 ,
| (17.28) |
определяемый дипольным моментом системы, является малой поправкой
к кулоновскому. Дипольный потенциал становится главным, если
суммарный заряд системы равен нулю. Обратим внимание, что дипольный
потенциал осесимметричен относительно направления вектора
d→ и
может быть представлен в виде |
ϕ(1) = d ⋅ cosθ
r2 ,
| (17.29) |
где θ – угол между
направлениями векторов d→
и R→.
Напомним, что выражение (29) уже фигурировало раньше как одно из
решений (25) уравнения Лапласа в сферических координатах.
2. О влиянии выбора начала координат на вектор
d→. Из
самого определения (27) видно, что дипольный момент в общем случае
зависит от выбора начала координат. При переносе его из точки
O в точку
O′ с вектором переноса
OO′→ = b→ радиусы-векторы
зарядов r→α′ заменяются
на b→ + r→α′ и, следовательно,
дипольные моменты d→,d→′
связаны соотношением d→ = ∑
αqαr→α = Qb→ + d→′.
Отсюда видно, что при Q = 0
дипольный момент не зависит от выбора начала координат и однозначно
описывает пространственное распределение разноименных зарядов. При
Q≠0всегда можно выбрать
такое b→ = d→∕Q, чтобы получить
d→′ = 0.Следовательно,
дипольный момент системы характеризует смещение «центра» этой системы
зарядов.
Пример. Дипольный момент системы двух зарядов
−e,e. По
определению d→ = e(r→+′−r→−′) = ea→,
т.е.дипольный момент рассматриваемой системы определяется
пространственным вектором, соединяющим два заряда (см. рис. 28).
3. Поле диполя. Здесь имеется в виду найти поле системы зарядов с суммарным зарядом
Q = 0, характеризующейся
дипольным моментом d→,
на больших расстояних от зарядов. Из (28) имеем |
E→(r→) = grad d→ ⋅r→
r3 = (d→⋅r→)grad 1
r3 + 1
r3 grad(d→ ⋅r→) = 3(d→ ⋅r→)r→ − r2d→
r5 .
| (17.30) |
С использованием единичного вектора
n→ = r→
r ,
направленного вдоль радиуса-вектора точки наблюдения (рис. 29),
полученную формулу часто представляют в виде
E→(r→) = 3(n→ ⋅d→)n→ −d→
r3 .(30′)
4.Сила и момент сил, действующие на диполь со стороны внешнего
электрического поля. Пусть рассматриваемая система зарядов
Q = 0 и
d→≠0
находится в некотором внешнем электрическом поле
E→(r→). Чтобы
система могла рассматриваться как диполь, необходимо, естественно, чтобы размер
системы a
был существенно меньше характерного радиуса
ℓ, на
котором внешнее поле заметно меняется. В этом случае напряженность поля
в точке r→,
входящая в выражения
F→ = ∫
V ρ(r→)E→(r→)dV,N→ = ∫
V [ρ(r→)r→ ×E→(r→)]dV
для суммарной силы и суммарного момента сил, может быть
вычислена через поле и производные поля в фиксированной точке
O (в
«центре» диполя)
E→(r→) = E(0) + (r→ ⋅∇)E→;
т.е. слагаемое (r→ ⋅∇)E→
(в векторном анализе называется градиентом вектора
E→ по направлению
вектора r→)
в данном случае вычисляется в фиксированной точке
O.
Вследствие этого при интегрировании по объему
V эти
производные выносятся из под знака интеграла и результат для
E→
приобретает вид |
F→ = (d→ ⋅∇)E→ = dx∂E→
∂x + dy∂E→
∂y + dz∂E→
∂z
| (17.31) |
(поле E→(0) при интегрировании
пропадает из-за Q = 0
). Для суммарного момента сил при интегрировании достаточно ограничиться
значением E→(0)
и в результате получаем
Таким образом, сила (31), действующая на диполь со стороны внешнего
электрического поля, зависит от быстроты изменения этого поля в направлении
вектора d→.
Естественно, в однородном поле эта сила равна нулю. Момент
сил (32), действующий на диполь, стремится повернуть диполь
так, чтобы его дипольный момент стал параллелен полю
E→ в
месте расположения диполя (рис. 30).
Заметим для дальнейшего, что при выводе формул (31),
(32) никаких предположений относительно внешнего поля не
делалось. Если же рассматривается электростатическое поле
E→ = gradϕ,
которое удовлетворяет уравнению
формулу для силы, действующей на диполь, можно привести к виду
F→ = gradU,
связав силу с потенциальной энергией
U
диполя во внешнем электрическом поле. Рассмотрим два разных варианта
диполей.
Случай так называемого твердого диполя, когда его дипольный момент
d→ не
зависит от положения диполя в пространстве, занятом полем. Тогда из
формулы векторного анализа
grad(a→ ⋅b→) = (a→ ⋅∇)b→ + (b→ ⋅∇)a→ + [a→ × rotb→] + [b→ × rota→]
с учетом уравнения (33) и условия
d→ = const
получается
grad(d→ ⋅E→) = (d ⋅∇)E→
и, следовательно, формула (31) приобретает искомый вид
т.е.
U = −(d→ ⋅E→),еслиd→ = const.
Случай упругого диполя. Существуют системы зарядов,
дипольный момент которых пропорционален полю
E→, в
котором находится система (например, система зарядов нейтральной
молекулы). Для них
d→ = αE→,α = const.
При этом с помощью приведенной формулы векторного анализа
получаем
grad(d→ ⋅E→) = αgrad(E→ ⋅E→) = α ⋅ 2(E→ ⋅∇)E→ = 2(d→ ⋅∇)E→,
т.е.
(d→ ⋅∇)E→ = 1
2grad(d→ ⋅E→).
Отсюда формула (31) приобретает вид |
F→ = 1
2grad(d→ ⋅E→) ;
| (17.35) |
следовательно,
U = −1
2(d→ ⋅E→),еслиd→ = αE→.
5. Перейдем к следующему, квадрупольному, члену разложения
ϕ(2),
получающемуся как результат постановки последнего слагаемого (26) в
выражение (15):
ϕ(2) = 1
2 ∫
xi′x
j′ρ(r→′)dV ′⋅ ∂2
∂xixj 1
r.
С введениеv обозначения
Qij = ∫
xi′x
j′ρ(r→)dV ′
результат можно представить в виде
ϕ(2) = 1
2Qij ∂2
∂xixj 1
r.
Симметричный тензор Qij = Qji
иногда принимается за тензор квадрупольных моментов. Часто, однако,
несколько отличный тензор, а именно |
Dij = ∫
(3xi′x
j′− r′2δ
ij)ρ(r′→)dV ′,
| (17.36) |
тоже симметричный, принимают в качестве тензора квадрупольных
моментов. Удобство нового тензора связано с тем, что его след равен нулю,
т.е. |
δijDij = Dii = 0.
| (17.37) |
С учетом того, что функция 1∕r(x,y,z)
удовлетворяет уравнению Лапласа
Δ 1
r = ∂2
∂xi 1
r = δij ∂2
∂xi2∂xj 1
r = 0,
легко заметить, что
1
2Qij ∂2
∂xi∂xj 1
r = 1
6Dij ∂2
∂xi2∂xj 1
r.
Последовательно вычисляя приоизводные функции
1∕r,
нетрудно убедиться, что
∂2
∂xi∂xj 1
r = 3xixj − r2δij
r5
и, следовательно,
ϕ(2) = 1
6Dij3xixj − r2δij
r5 .
Учитывая свойство (37), квадрупольный потенциал можно привести к
окончательному виду |
ϕ(2) = 1
2Dijxixj
r5 .
| (17.38) |
Отсюда видно, что с увеличением расстояния
r
ϕ(2) спадает как
1∕r3, в то время как
дипольный потенциал ∼ 1∕r2,
а кулоновский, как 1∕r.
Заметим, что существуют системы зарядов, у которых как суммарный
заряд, так и дипольный момент равны нулю. Для таких систем именно
квадрупольный потенциал является главным.
Пример. Поле линейного квадруполя, т.е. системы трех зарядов,
показанных на рисунке. Соответствующие заряды расположены на оси
z в точках с
координатами ±a
и z = 0. Видно, что у
этой системы Q = 0
и d→ = 0. Оси
x,y,z являются главными
осями для тензора Dij
рассматриваемой системы зарядов, так как ось
z – ось
симметрии, отсюда с учетом (37) следует, что
D11 = D22 = −1
2D,D33 = D,
т.е. тензор Dij
полностью определяется значением одного диагонального элемента
D33. Замечаем, что
заряд −2q с нулевыми
координатами вклада в D33
не вносит и от оставшихся двух зарядов
q
имеем
D33 = 2q(3a2 − a2) = 4qa2.
Таким образом, квадрупольный потенциал равен
ϕ(2) = 1
2r5(D11x2 + D
22y2 + D
33z2) = D
2r5 −1
2(x2 + y2) + z2
и после перехода с сферическим координатам
(r,θ,α)
принимает вид
ϕ(2) = D
2r3 cos2θ −1
2sin2θ = D
2r3 3cos2θ − 1
2 = D
2r3P2(cosθ),
т.е. совпадает с одним из решений (25) уравнения Лапласа, соответствующим
номеру ℓ = 2.
|