§22 Закон Ома. Проводимость металлов. Условие применимости закона Ома

1. Обратимся к зависимости плотности тока j→ в проводящей среде от напряженности электрического поля E→. В слабых полях эта зависимость линейная и обычно представляется в виде

2. Вывод закона Ома проведем на примере металлических проводников. Отметим сразу, что для металлов любые достижимые поля являются в рассматриваемом смысле "слабыми"и закон Ома справедлив в них всегда. Здесь носителями тока являются свободные электроны, слабо связанные с ионами кристаллической решетки, внутри которой они свободно могут перемещаться. В отсутствие электрического поля электроны совершают беспорядочное движение, аналогичное тепловому движению молекул газа. При наличии электрического поля на беспорядочное движение электронов накладывается регулярное — дрейфовое — движение. В пределах физически бесконечно малого объема электрическое поле можно считать однородным и поэтому все находящиеся в этом объеме электроны имеют одну и ту же скорость дрейфового движения, которую обозначим через u→. Представив полную скорость v→ электрона в виде суммы v→ = v→∗ + u→ скоростей беспорядочного и дрейфового движений, уравнение движения можно записать в виде

где eE→ — сила, действующая на электрон со стороны электрического поля, причем оно не обязано быть неизменным во времени, F→Σ = F→i + F→e - сила со стороны ионов и других электронов. Усредним это уравнение по электронам, т. е. просуммируем уравнения для всех электронов рассматриваемого объемчика и разделим на число электронов. В результате скорость беспорядочного движения из уравнения выпадет, а сила F→Σ заменится средней силой ⟨F→i⟩ со стороны ионов кристаллической решетки. Заметим, что силы взаимодействия между электронами при усреднении пропадают т. к. эти силы не влияют на суммарный импульс ∑ m(v→∗ + u→) всех электронов, который только и входит в вычисление среднего значения скорости u→. В отсутствие дрейфующего движения средняя сила ⟨F→i⟩ равна нулю, а при u≠0 становится отличной от нуля, причем, если u << v∗ (в металлах данное условие, как будет показано, выполняется всегда) эту суммарную силу можно разложить по степеням u→ и ограничиться первым членом разложения, представив его в виде

а после умножения на eN может быть переписано в виде уравнения для плотности тока j→ = Neu→:

Если поле E→ не зависит от времени, то уравнение допускает стационарное решение

представляющее собой закон Ома(3.10), где проводимость определяется выражением

Из уравнения (3.12) видно, что закон Ома верен и для переменных полей. Важно только, чтобы за время τ∗ ток менялся пренебрежимо мало, т.е. выполнялось условие

3. Введенное выше характерное время τ∗ можно выразить через среднее время свободного пробега электрона τs между двумя последовательными столкновениями с ионами решетки. Для этого обычно принимается предположение (справедливое из-за наличия тепловых колебаний кристаллической решетки), что при каждом столкновении с ионом электрон полностью утрачивает свою скорость упорядоченного движения и последующее ускоренное движение под действием электрического поля начинается с нулевой начальной скорости. В результате к следующему столкновению электрон приходит со скоростью eE→τs∕m, средняя скорость между двумя последовательными столкновениями будет u→ = eE→τs∕(2m), а плотность тока j→ = Neu→ = Ne2τs∕(2m)E→. Следовательно, проводимость

4. Воспользуемся формулами (3.15), чтобы оценить микропараметры ℓs,τs, характеризующие движение электрона, через макроскопически измеряемую величину σ; к примеру, для меди σ = 5 ⋅ 1017 1/с. Следует при этом помнить, что газ свободных электронов в металле подчиняется не классической статистике, а статистике Ферми-Дирака и средняя скорость теплового движения не определяется параметром kT. Оказывается, что скорость хаотического движения электронов в металле составляет v∗∼ 108 см/с даже вблизи абсолютного нуля температуры. Нагревание до температур плавления лишь незначительно увеличивает эту скорость. Что касается концентрации электронов, ее можно оценить, считая, что на каждый атом приходится один свободный электрон. Отсюда N = N0ρ∕A ( N0 — число Авагадро, ρ — плотность, A — атомная масса) и для меди находим

Для оценок τs и ℓs удобно формулы (3.15) переписать, выразив в них e2∕m через классический радиус электрона re = e2∕mc2 = 2,8 ⋅ 10−13см. Тогда

и отсюда получаем

5. Сделаем уточняющее замечание к условию справедливости формулы (3.11) и вытекающего отсюда закона Ома. Говорилось, что для этого необходимо выполнение условия u ≪ v∗. Понятно, что процесс столкновения электрона с ионом связан с передачей последнему импульса Δp→ пропорционального mu→. А "сила трения", испытываемая электроном со стороны ионной решетки, ⟨F→i⟩ = −νΔp→, т. е. кроме Δp→, зависит еще и от частоты столкновений ν ∼ ℓs∕∣v→∗ + u→∣. Только при условии u ≪ v∗ эта частота есть константа, не зависящая от приложенного поля, и только при этом закон Ома действительно справедлив. В сильных полях закон Ома может нарушаться, т. к. линейное приближение (3.11) уже недостаточно. Сильными, таким образом, являются поля, в которых на протяжении длины свободного пробега носитель тока приобретает скорость, сравнимую со скоростью беспорядочного движения. Следовательно, условие слабости поля, использованное при выводе закона Ома, имеет вид

Только начиная с таких полей могли бы проявиться нелинейные эффекты при прохождении электрического тока через металл. На самом деле такие поля в металле невозможны: они мгновенно превратили бы металл в пар. Следовательно, в металлах закон Ома справедлив при сколь угодно больших практически достижимых полях. А вот в проводниках типа ионизованных газов закон Ома практически не соблюдается.

6. Применим дифференциальный закон Ома к постоянному току, протекающему по тонкому длинному проводу. В этом случае можно считать, что плотность тока j постоянна по сечению и полный ток I = jS. Если сечение S не меняется вдоль провода, то во всем проводе j = const. С другой стороны, разность потенциалов на концах проводника равна U = Eℓ где ℓ — длина проводника. Подставляя выражения j = I∕S , E = U∕ℓ в закон Ома (3.10), найдем

В соответствии с этим единица проводимости в СИ есть (Ом ⋅м)−1 = 9 ⋅ 1091/c.