§30 Ток в вакууме. «Закон 3/2»

Рассмотрим другой предельный случай газового разряда между параллельными электродами схематически изображенными на рис. 49, когда газ не ионизирован и ток в газовом промежутке может возникнуть лишь при наличии эмиссии заряженных частиц с электродов. В зависимости от того, каким способом электронам в металле сообщается дополнительная энергия, возникают разные типы электронной эмиссии: термоэлектронная эмиссия, фотоэмиссия или фотоэлектрический ток, вторичная электронная эмиссия за счет бомбардировки другими частицами. Для определенности здесь рассматривается случай термоэлектронной эмиссии, когда нагретый катод испускает определенное количество электронов с единицы поверхности за единицу времени, причем при увеличении температуры катода термоэмиссия увеличивается. Будем считать, что газ между электродами разрежен настолько, что средняя длина свободного пробега электронов существенно превышает толщину газового промежутка, т. е. ℓs ≫ d. Тогда наличие газа не сказывается на величине тока и такой ток называют током в вакууме или электронным пучком.

Представим качественные соображения о зависимости плотности тока от приложенного напряжения. Пусть температура катода T1 отлична от нуля и в катоде имеются электроны, способные преодолеть потенциальный барьер величиной в работу выхода и покинуть поверхность катода. Если приложенное напряжение равно нулю, то электроны, покидающие поверхность, образуют равновесное электронное облако вблизи поверхности катода и ток через вакуумный диод (так называется рассматриваемая система) практически не идет. С появлением напряжения появляется ток, сначала он увеличивается при увеличении напряжения и при дальнейшем увеличении U достигает некоторого постоянного значения js, называемого током насыщения (см. рис. 52). Величина js зависит от эмиссионной способности катода — при достаточно высоких напряжениях все покидающие поверхность катода электроны переносятся на анод и они определяют величину тока насыщения. Если увеличить эмиссионную способность катода, повысив температуру до T2, полученная зависимость j(U) будет аналогична предыдущей, только ток насыщения теперь будет больше.

Возникает естественный вопрос — если при некотором фиксированном напряжении U0 начнем неограниченно увеличивать эмиссионную способность катода (повышением температуры или другими средствами), будет ли при этом плотность тока также увеличиваться неограниченно? Ответ будет отрицательный: при любой эмиссионной способности плотность тока в вакуумном диоде имеет предельное значение j∗(U), зависящее от приложенного напряжения. Найти эту зависимость и будет целью. теоретического рассмотрения. Получающийся при этом "закон трех вторых"как раз и определяет значение j∗, которое на рис. 52. отмечено точкой в кружочке.

Перед тем, как приступить к выводу названного закона, попробуем разобрать на качественном уровне, почему при увеличении эмиссионной способности катода плотность тока при фиксированном U0 достигает предельного значения и дальше расти не может. Для этого обратим внимание на распределение потенциала в вакуумном зазоре (рис. 53). При холодном катоде (т. е. при j = 0) электрическое поле в зазоре однородно, а распределение потенциала линейно. Появление тока связано с возникновением в зазоре отрицательных объемных зарядов и, как следствие , с видоизменением электрического поля: вблизи катода поле уменьшается, а у анода увеличивается, или, как обычно говорят, возникает "провисание потенциала". На рис. 53 соответствующая кривая отмечена символом j1. Важно отметить, что электрическое поле на катоде еще не равно нулю и все выходящие из катода электроны испытывают силу, направленную в сторону анода. При дальнейшем увеличении эмиссионной способности катода и увеличении тока объемная плотность электронов увеличивается, а провисание потенциала усиливается (пунктирная кривая на рис. 53), и при дальнейшем увеличении тока наступает момент, когда провисание потенциала достигает такой степени, что поле на катоде становится равным нулю (кривая изображена жирной линией и снабжена символом j∗). Теперь как бы дальше ни увеличили эмиссию электронов из катода, к увеличению плотности тока это не приведет, т. к. "новые"электроны находятся в нулевом электрическом поле и не уходят с катода.

Вывод из приведенного качественного рассмотрения такой: при прохождении предельного тока электрическое поле на поверхности катода равно нулю, т. е.

Приступим к вычислениям. Плотность тока межэлектродном пространстве имеет лишь x — компоненту, причем, как следует из уравнения непрерывности (3.79). djx∕dx = 0 и, следовательно

т. е. j не зависит от x. Объемная плотность зарядов ρ(x) = −eN(x) определяется концентрацией электронов N(x), а распределение потенциала в промежутке 0 < x < d удовлетворяет уравнению Пуассона

правую часть уравнения (3.57) выразим через ϕ(x):

Следовательно, распределение потенциала удовлетворяет уравнению

Первые два из этих условий задают потенциалы, соответственно, катода и анода, а последнее есть повторение (3.57). Имеющееся здесь кажущееся противоречие — три граничных условия для уравнения второго порядка (3.59), — разрешается тем, что константа A, входящая в уравнение, является неопределенной, поскольку связана с искомой величиной j.

Для получения первого интеграла умножим левую и правую части уравнения (3.58) на dϕ∕dx и результат запишем в виде

что после интегрирования дает

Значение постоянной интегрирования C = 0 определяется из крайних условий (3.60). Проинтегрировав полученное соотношение

еще один раз и использовав условие ϕ(0) = 0, получаем

откуда с использованием среднего условия (3.60) определяем значение константы

Следовательно, окончательный результат для распределения потенциала в вакуумном зазоре и для плотности тока такой:

Полученная зависимость плотности тока, пропорциональной приложенному напряжению в степени 3/2, и называется законом трех вторых.

Заметим в заключение, что экспериментальные результаты в малой окрестности точки j = 0, U = 0 несколько отличаются от теоретических: экспериментальная кривая не точно проходит через точку (0,0). Это слабое различие обусловлено тем, что покидающие катод электроны могут обладать некоторой кинетической энергией, которая в законе сохранения энергии здесь не учитывалась.