|
| |
Проведем более детальное исследование несамостоятельного разряда
между двумя параллельными электродами. Необходимость в подобном
исследовании выявляется из анализа простейшего результата (3.36). Дело в
том, что в предложениях |
N+ = N− = N,E = const,
| (29.1) |
неявно принятых при получении (3.36), количества положительных и отрицательных
зарядов Neb+E,
Neb−E,
выносимых из газового промежутка движущимися ионами,
между собой не равны. При одинаковости чисел рождающихся в
газовом промежутке положительных и отрицательных зарядов
Ṅ0d,
отсюда следует, что суммарный заряд в газовом промежутке не остается
постоянным. Это значит, что допущения (3.38) противоречат условию
стационарности процесса и для устранения противоречия необходим анализ,
свободный от этих предположений.
Итак, рассматривается газовый промежуток между параллельными
катодом и анодом ( см. рис. 50), на которые подано напряжение
U.
Пусть под действием внешнего ионизатора в 1
см3 газа ежесекундно
рождается Ṅ0
пар заряженных частиц. Давление газа достаточно и средняя
длина свободного пробега ионов намного меньше расстояния
d
между электродами. При этом направленное движение ионов под
действием электрического поля характеризуется подвижностями
b+,b−, которые между собой
не равны ( обычно b+ < b−),
но они постоянны, не зависят от величины поля.
При заданной геометрии поле E→,
плотности тока j→+,j→−
положительных и отрицательных ионов, а также полный ток
j→ направлены против
оси x. Их величины
далее обозначены как E(x),
j+(x),
j−(x),
j,
причем с учетом (3.35) |
j+(x) = eN+(x)u
+(x) = eb+N+(x)E(x),
| (29.2) |
|
j−(x) = eN−(x)u
−(x) = eb−N−(x)E(x),
| (29.3) |
В рассматриваемом случае несамостоятельного тока, обусловленного
внешним объемным ионизатором, утверждение
требует доказательства. Для этого выпишем законы сохранения для
положительных и отрицательных ионов: |
∂N+
∂t = Ṅ0 − χN+N− + b
+ ∂
∂x(N+E,
| (29.6) |
|
∂N−
∂t = Ṅ0 − χN+N−− b
− ∂
∂x(N−E,
| (29.7) |
(здесь знаки перед конвективными членами различны из-за различия
направлений движения соответствующих ионов). В стационарном случае имеем
∂
∂t ≡ 0.
Вычитая при этом уравнение (3.44) из (3.43), и получим результат,
эквивалентный (3.42).
Дополнив уравнения (3.39) (3.40) (3.43) (3.44) основным уравнением
электростатики, имеющим в данном случае вид |
−dE
dx = 4πe(N+ − N−),
| (29.8) |
получим замкнутую систему уравнений для неизвестных
N+(x),
N−(x),
j+(x),
j−(x),
E(x).
Из(3.39), (3.40) функции N+(x),
N−(x) можно
выразить через j+,
j−,
E или, после замены (
с помощью (3.41)) j− = j − j+,
через j+,E и
j. Подставив полученные
выражения для N+,N−
в уравнение (3.43), получим |
dj+
dx − χ
eb+b−j+(j − j+)
E2 = −eṄ0,
| (29.9) |
а подстановка тех же N+,N−
в уравнение (3.45) дает
dE2
dx = −8π j+ 1
b+ + 1
b−− j
b−,
или, будучи разрешено относительно
j+,
выражение |
j+ = b+b−
8π(b+ + b−) 8πj
b− −dE2
dx .
| (29.10) |
Подставляя последнее соотношение в (3.46), получаем нелинейное
уравнение второго порядка |
F d2F
dx2 + χ
8πe(b+ + b− 8πj
b− −dF
dx 8πj
b+ + dF
dx − 8πeṄ0b+ + b−
b+b− F = 0
| (29.11) |
для квадрата напряженности электрического поля
Таким образом, задача свелась к определению функции (3.49) из уравнения
(3.48), куда в качестве свободного параметра входит неизвестная плотность
тока j.
Обратимся к граничным условиям. Первое из них
обеспечивает заданное напряжение между электродами. Условия |
j = j+(0),j = j−(d),
| (29.14) |
последнее из которых на основание (3.41) можно заменить условием
j+(d) = 0,
отвечают за неизменность во времени суммарного количества зарядов в
газовом промежутке. Переходя, согласно (3.47), (3.49), к переменной
F,
условия (3.51) можно представить в виде |
dF
dx(0) = −8πj
b+ ,dF
dx (d) = 8πj
b− .
| (29.15) |
Итак, для функции F(x) и
свободного параметра j
имеем уравнение второго порядка (3.48) и три граничных условия (3.50),
(3.52); математическая формулировка задачи завершена.
Для исследования задачи перейдем к безразмерным переменным, используя в качестве
масштабов для F,
j,
x соответственно
E02,
eṄ 0
χ (b+ + b−)E0 и
d, где
E0 = U∕d.
Для безразмерной координаты оставим прежнее обозначение
x, а
безразмерные F,
j
снабдим волнистой чертой, так что |
F = E02F̃,j = eṄ 0
χ (b+ + b−)E0 j̃.
| (29.16) |
В безразмерных переменных задача (3.48), (3.50), (3.52) приобретает
вид
F̃d2F̃
dx2 − p dF̃
dx 2 + ϰj̃
+b−− b+
b+ b− dF̃∗
dx + ϰ2F̃ − ϰ2j̃
+2 = 0(3.48′)
∫
01F̃dx = 1(3.50′)
dF̃
dx (0) = −ϰj̃+b−
b+,dF̃
dx (1) = ϰj̃+b+
b−,(3.51′)
где
p = χ
8πe(b+ + b−),ϰ = 8πeṄ 0
χ d
E0 b− + b+
b+ b−
- безразмерные параметры, характеризующие условия задачи, причем
p
определяется физическими свойствами газа, а
ϰ зависит от
внешних условий проведения опыта, характеризуемых межэлектродным расстоянием
d, масштабом поля
E0 и скоростью
образования ионов Ṅ0. По
численному значению p
имеет порядок единицы. Так, например, для
Np = 103 1
см3 ,
Ṅ0 = 2 1
см3⋅с, приведенных в §31,
имеем χ = 2 ⋅ 10−6см3
с ; приняв для
подвижностей значения b = 1см2
сВ = 300
абс.ед., отсюда получаем
p = 2 ⋅ 10−6
8π ⋅ 4,8 ⋅ 10−10 ⋅ 600 = 1
4.
Параметр ϰ может
иметь значения от 0 до ∞.
Интегрирование уравнения (3.48′)
для произвольных значений параметров
p,
ϰ
представляет большие трудности. Здесь ограничимся рассмотрением
предельных случаев.
Случай ϰ ≪ 1
сильных полей, когда приложенное электрическое поле велико по сравнению
с характерным полем
E∗ = 8πeṄ 0
χ d.
Наличие в задаче малого параметра позволяет искомые величины
представлять в виде разложений по степеням этого параметра. В данном
случае решения целесообразно строить в виде разложений
ϰj̃ = I0 + I1ϰ2 + I
2(ϰ2)2 + …,
F̃(x) = F̃0(x) + F̃1(x)ϰ2 + F̃
2(ϰ2)2 + …
по степеням ϰ2
для функции F̃(x)
и комплекса ϰj̃
заметив, во-первых, что безразмерная плотность тока
j̃ входит в задачу
только в составе ϰj̃
и, во-вторых, что после такой замены в уравнении (3.48’) остается параметр
ϰ
только в квадрате.
Не останавливаясь на стандартных шагах по определению коэффициентов
разложения, приведем результат:
j̃ = pϰ b+ b−
b+ + b− 1 −1
6p2ϰ2 + O(ϰ4),
F̃(x) = 1 + p∕2 (x − x∗)2 − C
0 ϰ2 + O(ϰ4),
где
x∗ = b−
b+ + b− > 1
2,C0 = x∗(x∗− 1) + 1
3.
Отсюда для распределения электрического поля в межэлектродном пространстве
E(x) и для
плотности тока j
получаем
E(x) = F(x) = E0F ̃ (x) = E0 1 + pϰ2∕4 (x − x
∗)2 − C
0 + O ϰ4 ,
j = eṄ 0
χ b+ + b−E0j̃ = eṄ0d 1 −1
6p2ϰ2 + O(ϰ4),
т. е. при E0 ≫ E∗
плотность тока отличается от тока насыщения
js
(3.37) и электрическое поле отличается от однородного поля
E0 только слагаемыми,
пропорциональными (E∗∕E0)2 ≪ 1/
При этом, как следует из (3.45) , имеет место слабое отклонение
от квазинейтральности: со стороны катода на интервале
0 < x < x∗
концентрация положительных ионов превалирует над отрицательными, а
при x > x∗
имеет место обратная ситуация.
Второй предельный случай ϰ ≫ 1
полей E0 ≪ E∗
При этом уравнение (3.48’) можно упростить, оставляя,
в квадратной скобке лишь слагаемые, пропорциональные
ϰ2: |
F̃d2F̃
dx2 − pϰ2(F̃ −j̃2) = 0.
| (29.17) |
Первый интеграл этого уравнения |
dF̃
dx 2 = 2pϰ2(F̃ −j̃2 lnCF̃)
| (29.18) |
получается стандартным приемом интегрирования уравнения, не
содержащего независимой переменной. Второй раз проинтегрировать
полученное уравнение не удается и поэтому константа интегрирования
C
остается неопределенной.
Вспомнив о возможностях, предоставляемых малым параметром, можно
переписать уравнение (3.54) в виде
1
pϰ2F̃d2F̃
dx2 − (F̃ −j̃2) = 0,
содержащем малый параметр, и постараться построить решение с помощью
разложения по малому параметру. Но этот прием здесь не проходит, так как
решение нулевого приближения |
F̃0 = j̃2 = const
| (29.19) |
граничным условием (3.51’) удовлетворить не может. Это — общее свойство
так называемых уравнений с малым параметром при старшей производной.
Порядок этих уравнений понижается по крайней мере на единицу при
обращении малого параметра в нуль и, вследствие этого, их решения
всем граничным условия исходного уравнения удовлетворить не
могут. В математике разработаны определенные приемы построения
асимптотических разложений для подобных уравнений. В случае уравнения
(3.54) важно обратить внимание, что вблизи границ, где заданы условия
(3.51′),
решение должно быть отлично от нулевого приближения (3.56). При этом
благодаря большим значениям второй производной, возникающим из-за
ϰ ≫ 1,
решение быстро выходит на асимптотическое значение
F̃ = F̃0
нулевого приближения. Тогда, выбрав определенный знак для производной
dF̃∕dx согласующийся с
условиями (3.51′),
первый интеграл (3.55) вблизи границы
x
запишем в виде
dF̃
dx = −2pϰF ̃ − F ̃ 0 ln CF̃.
Значение константы C
определим из условия dF̃∕dx → 0
при F̃ →F̃0,
откуда lnCF̃0 = 1,
и в результате получим
dF̃
dx = −2pF ̃ 0ϰ F ̃
F̃0 − 1 − ln F̃
F̃0.
Из последнего выражения при учете граничного условия
dF̃
dx (0) = −ϰb−
b+F ̃ 0
получается соотношение
F̃(0)
F̃0 − ln F̃(0)
F̃0 = 1 + 1
2p b−
b+,
определяющее значение функции F̃(x)
в точке x = 0.
Аналогично для правого электрода (анода)имеем
F̃(1)
F̃0 − ln F̃(1)
F̃0 = 1 + 1
2p b+
b−.
Так как p ∼ 1,
b− > b+,
отсюда следует, что
F̃(0) ≳ eF̃0,F̃0 < F̃(1) < F̃(0).
До сих пор константа F̃0
еще не определена. Для ее определения (из условия
(3.50′)) нужна
функция F̃(x),
которая здесь точно не исследована. Качественное поведение этой функции из
проведенного анализа легко представить в виде ее схематического изображения
(рис. 51). "Пограничные слои", в которых в которых функция от значений
F̃(0),
F̃(1) переходит на
F̃0, имеют толщину
порядка 1∕ϰ,
следовательно,
∫
01F ̃ (x)dx = F̃
0[1 + O(1∕ϰ)],
и из условия (3.50′)
имеем
F̃0 = 1 − O(1∕ϰ),j̃ = F ̃ 0 = 1 − O(1∕ϰ).
Таким образом, в слабых полях E0 ≪ E∗
плотность тока
j = eNp(b+ + b−)E0[1 − O(E0∕E∗)]
подчиняется закону Ома, но при этом распределение электрического поля и
концентрации ионов в приэлектродных слоях весьма существенно
отличаются от однородных. При этом, как видно из уравнения (3.45), в этих
слоях скапливаются положительные и отрицательные ионы соответственно
у катода и анода.
|