33 Теорема Стокса

§33 Теорема Стокса

Вычислим интеграл ∫ B→dl→ по произвольному криволинейному контуру в поле прямого тока I. В отличие от электрического поля, этот интеграл не имеет смысла работы, производимой магнитным полем при перемещении единичного заряда. Магнитное поле вообще не производит никакой работы при перемещении заряда. Действительно, при перемещении q заряда на расстояние δr→ в поле силы F→ производимая работа δA есть δr→F→. В нашем случае за время δt заряд получаем смещение δr→ = v→δt, которое перпендикулярно направлению силы F→ = (q∕c)[v→,B→]. Следовательно, δA = 0, что и требовалось доказать. Тем не менее вычисление интеграла ∫ B→dl→ приведет нас к важным выводам.

Легко проверить, что

∫ 12B→dl→ = 2I c (α2 − α1),

(33.1)

где α1 и α2 суть значение азимутального угла, отсчитываемого вокруг оси тока, в начальной и конечной точках контура интегрирования, соответственно. Для доказательства (33.1) заметим, что любой контур интегрирования можно представить в виде череды отрезков прямых и дуг, идущих либо строго радиусу, либо параллельно току, либо по азимуту (см. рис. ??). На всех участках, где dl→направлено по радиусу или вдоль тока, B→ перпендикулярно dl→. Вклад таких участков в интеграл равен нулю. Остаются участки, составленные из дуг окружностей разных радиусов; там dl→, как и B→направлено по азимуту, причём dl = rdα. Поскольку B = 2I∕cr, произведение B→l→ = (2I∕c)dα не зависит от радиуса дуги r. Суммируя вклады всех дуг, очевидным образом, получаем выражение, стоящее в правой части (33.1).

Теоремой Стокса называют результат вычисления интеграла (33.1) по замкнутому контуру. Для замкнутого контура разность α2 − α1 равна 2πN, где N есть количество обходов контура интегрирования вокруг тока с учетом направления обхода. Таким образом,

∮ B→dl→ = 4π c I N ,

(33.2)

Положительным направлением считается направление, определяемое правилом правого винта с направлением тока (азимутальный угол увеличивается в этом направлении). Отрицательным направлением считается направление, определяемое правилом левого винта с направлением тока (азимутальный угол уменьшается в этом направлении). Если контур ни разу не обходит вокруг тока (рис. ??,а) или число правых и левых обходов одинаково (рис. ??,г), то N = 0. Далее нам придется иметь дело с только контуром, который обходит ток один раз ??,б).

Теорему Стокса нетрудно обобщить на произвольную конфигурацию токов. Рассмотрим какой-нибудь контур 1, настолько маленький, что линии тока вблизи контура можно считать прямыми. Как мы уже доказали, для такого контура

∮ B→dl→ = 4πI c ,

(33.3)

где I — это суммарный ток, пронизывающий внутреннюю часть контура. Добавим к этому контуру еще один, столь же маленький контур 2, так чтобы два контура соприкасались. Для него мы также уже вправе воспользоваться теоремой Стокса. Рассмотри теперь третий контур 3, который получается выбрасыванием той части контуров 1 и 2, которые соприкасаются. На этих соприкасающимся участкам интегрирование на контурам 1 и 2 идет в противоположных направлениях, поэтому при сложении интегралов ∮ 1B→dl→ и ∮ 2B→dl→ вклады этих участков взаимно сокращаются. Остается только вклад участков, целиком принадлежащих контуру 3. Следовательно,

\oint 1 B \to d l \to + \oint 2 B \to d l \to = \oint 3 B \to d l \to .

С другой стороны, эта сумма равна умноженной на 4π∕c сумме токов I1, I2, пронизывающих по отдельности, соответственно, контуры 1, 2, а в сумме — контур 3. Таким образом, мы заключаем, что для объединенного контура 3 теорема Стокса также выполняется. Добавляя раз за разом маленькие контуры, мы в конце концов перейдем к масштабам, где неоднородность распределения тока станет заметной, но теорема Стокса (33.3), как следует из приведенных рассуждений, тем не менее верна.

▸Задача 33.1

Найти поле тороидального соленоида.

Решение: To be done yet… ▸Задача 33.2

Найти прямого соленоида.

Решение: To be done yet…

[next] [prev] [prev-tail] [front] [up]