3 Классификация физических величины и тензоры

§3 Классификация физических величины и тензоры

Все физические величины поддаются простой и естественной классификации, возникшей исторически и основанной на использовании одного из важнейших методов познания — метода аналогий. Начнем с описания простейшего физического явления — движения материальной точки. Положение точки по отношению к некоторому телу отсчета задается тремя числами x1,x2,x3, которые определяют радиус-вектор r→ точки и называются его компонентами или координатами. Закон, по которому устанавливается соответствие между положением r точки в пространстве и числами xi (i = 1,2,3), определяется выбором системы координат (декартовой, цилиндрической, сферической и др.). Иначе говоря, задание системы координат равносильно заданию однозначной векторной функции

r→ = r→ x1,x2,x3 ≡r→ x.

(3.1)

Если бы мы выбрали другой способ задания положения точки, скажем, с помощью чисел x′i (i = 1,2,3), то из-за однозначности соответствия должно было бы быть

r→(x′) = r→(x),

(3.2)

откуда сразу же следует, что x′ и x связаны между собой, т. е.

x′i = fi(x).

(3.3)

Принято говорить, что соотношение типа (3.1) задает преобразование координат.

Рассмотрим бесконечно малое смещение точки dr→. В этом случае из (3.3) следует, что

dx′i = dfi x = ∑ k=13 ∂fi ∂xk dxk ≡ ∂ kfi dxk .

(3.4)

Здесь мы ввели обозначение для частной производной ∂k ≡ ∂∕∂xk и использовали правило суммирования Эйнштейна, согласно которому по повторяющимся верхнему и нижнему индексам всегда производится суммирование.

Соотношение (3.4) позволяет вычислить бесконечно малое смещение точки в любой системе координат и задает, таким образом, закон преобразования бесконечно малых смещений dxi (или скоростей) при преобразовании координат. Ввиду универсальности соотношения (3.4), которое справедливо для произвольных преобразований координат (3.3), удобно именно его положить в основу классификации физических величин.

Прежде всего дадим определение вектора. Три величины ai, где индекс i пробегает значения 1,2,3, определяют трехмерный вектор a→, если при преобразовании координат они изменяются так же, как и dxi, т. е.

a′i = ∂ kfi ak.

(3.5)

Числа ai называются в этом случае контравариантными компонентами вектора a→. Примером вектора может служить вектор скорости материальной точки v→ = dr→∕dt.

Если мы возьмем n векторов a→(1),a→(2),…,a→(n), то из их компонент можно образовать произведения вида a1i1a2i2…anin, где iα = 1,2,3; α = 1,2,…,n. Величины Ti1…in, которые при преобразовании координат изменяются так же, как эти произведения, т. е. по закону

T′i1…in = ∂k1fi1… ∂knfin Tk1…kn ,

(3.6)

определяют тензор ранга n и называются его контравариантными компонентами. Полезно отметить, что с этой точки зрения радиус-вектор точки r→ не является настоящим вектором (тензором первого ранга), поскольку его закон преобразования (3.3) совпадает с (3.5) только для линейных преобразований координат вида

x′i = A kixk,

(3.7)

где Aki — не зависящая от x матрица. Компоненты ускорения d2r→∕dt2 также образуют вектор только по отношению к линейным преобразованиям.

Частным случаем преобразований (3.7) являются вращения, включающие в себя повороты координатных осей, отражения и трансляция (перенос начала координат). Если ограничиться только вращениями, то данная классификация физических величин совпадает с хорошо известным разбиением величин по тензорным представлениям группы вращений.¹ В частности, преобразование отражения в декартовых координатах принимает вид

x' i = - x i,

поэтому для тензора ранга n

T′i1…in = (−1)nTi1…in .

(3.8)

Однако встречаются еще и такие физические величины, которые при отражении приобретают дополнительный знак минус по сравнению с (3.8). Подобные величины получили название псевдо- или аксиальных тензоров. Для псевдотензоров T̃i1…in получается тогда следующий закон преобразования при отражении:

T̃′i1…in = −(−1)nT̃i1…in ,

(3.9)

при поворотах же они ведут себя как нормальные тензоры.

Рассмотрим теперь закон преобразования координат (3.3) в случае, когда координаты x′ — декартовы, а x — произвольные другие. В декартовых координатах всегда можно ввести ортогональную тройку базисных единичных векторов e→i и положить

r→ = e→ix′i .

(3.10)

Если заданы два вектора a→ и b→ с декартовыми компонентами, ai и bi соответственно, то ортогональность базиса позволяет записать их скалярное произведение в виде

(a→b→) ≡a→⋅b→ ≡∣a→∣∣b→∣cos(a→,b→) = ∑ i=13aibi ,

(3.11)

что является простым следствием теоремы Пифагора.

Выберем две близкие точки r→ и r→ + dr→. Вычислим квадрат расстояния между ними, воспользовавшись произвольными координатами x. Из (3.4) и (3.10) имеем

dr→ = e→idx′i = e→ i ∂kfi dxk ≡h→ k dxk,

(3.12)

где h→k = e→i ∂kfi. Поэтому квадрат расстояния

dl2 ≡ (dr→dr→) = (h→ ih→k)dxi dxk ≡ g ik dxi dxk,

(3.13)

где

gik ≡ (h→ih→k) = ∑ j=13∂ ifj ∂ kfj = g ki .

(3.14)

Величины gik образуют, метрический тензор, характеризующий выбранную систему координат xi. В частности, в декартовых координатах

dl2 = ∑ i=13(dx′i)2 ≡∑ i.k=13g ik′dx′i dx′k .

(3.15)

т. е. gik′ = δik ≡ δki — символ Кронекера, равный 1 при i = k и 0 при i≠k. Координаты, для которых gik = 0 при i≠k, называются ортогональными.

▸Задача 3.1

Найти векторы h→i u вычислить с их помощью компоненты метрического тензора gik в цилиндрических и сферических координатах.

Очевидно, что ортогональные координаты характеризуются тремя параметрами hi ≡∣h→i∣, называемыми параметрами Ламе. При этом

dl2 = ∑ i=13h i2 (dxi)2 .

(3.16)

Заметим, что dl2 можно всегда привести к инвариантной, т. е. не зависящей от вида используемых координат, форме, если ввести обозначение

dxi ≡ gik dxk.

(3.17)

В таком случае для декартовых координат dxi′ = dx′ i, и поэтому

dl2 = dx i′dx′i = dx i dxi

(3.18)

Подставляя в (3.18) закон преобразования (3.4), находим

d x i' d x' i = d x i' \partial k f i d x k \equiv d x k d x k,

откуда

dxk = dxi′∂ kfi .

(3.19)

Величины ai, преобразующиеся так же, как dxi, т. е. по закону (3.19), и совпадающие с a′i в декартовых координатах, называются ковариантными компонентами вектора a→.

▸Задача 3.2

Показать, что ai = gik ak.

По аналогии с (3.18), квадрат длины вектора a→и скалярное произведение двух векторов a→ и b→ можно определить как

a2 ≡ a i ai = g ik ai ak , (a→b→) ≡ ai bi = g ik ai bk . (3.20)

(3.20)

▸Задача 3.3

Показать, что скалярное произведение двух векторов a→ и b→ не зависит от выбора системы координат, т. е. является инвариантом.

Инвариантные величины часто называют скалярами или тензорами нулевого ранга.

▸Задача 3.4

Показать, что величины ∂iϕ, где ϕ(x) — скалярная функция координат, являются ковариантными компонентами вектора, обозначаемого ∇ϕ ≡ gradϕ(x) (градиент). Здесь ∇ (набла) — так называемый векторный оператор Гамильтона. Убедиться, что ∇ϕ = h→i∂iϕ и dϕ = (dr∇ϕ). Записать ∇ϕ в цилиндрических и сферических координатах.

Определим теперь ковариантные компоненты Ti1…in тензора ранга n как величины, преобразующиеся, как произведение ковариантных компонент n векторов ai1 1a i2 2…a inn и совпадающие с T′i1…in в декартовой системе координат. Таким образом, в соответствии с (3.19)

Ti1…in = ∂i1fk1 … ∂infkn Tk1…kn .

(3.21)

Аналогично определяются смешанные компоненты тензора Ti1…imim+1…in, т. е. m раз ковариантные и n раз контравариантные. Они преобразуются как произведения соответствующих компонентов векторов ai1(1) …aim(m) a(m+1)im+1 … a(n)in и в декартовой системе координат совпадают с T′i1…in.

▸Задача 3.5

Показать, что Ti1…in = gi1k1 … ginknTk1…kn

▸Задача 3.6

Показать, что преобразование, обратное (3.21), имеет вид

Tk1…kn = ∂xi1 ∂x′k1 … ∂xin ∂x′knTi1…in

(3.22)

▸Задача 3.7

Получить закон преобразования смешанных компонент тензора и показать, что

T i 1 \dots i m i m + 1 \dots i n = g i 1 k 1 \dots g i m k m T k 1 \dots k m i m + 1 \dots i n

Из определения тензора сразу следует, что произведение компонентов двух тензоров M… и N… рангов m и n дает компоненты нового тензора T… ранга m + n. При этом, например,

M i 1 \dots i m N k 1 \dots k n \equiv T i 1 \dots i m k 1 \dots k n .

Такой способ получения новых тензоров называется внешним или тензорным умножением. Кроме того, применяется еще и дополнительная операция, называемая сверткой и состоящая в суммировании по некоторым парам индексов разной вариантности. Внешнее умножение, дополненное сверткой, называется внутренним умножением тензоров. Примером внутреннего умножения является образование скалярного произведения двух векторов.

▸Задача 3.8

Показать, что каждая свертка уменьшает ранг тензора на 2. В частности,

M i 1 \dots i m N i 1 \dots i m k 1 \dots k n = T k 1 \dots k n .

Чаще всего приходится иметь дело с тензорами второго ранга Tik, обозначаемыми T̂. Внутреннее умножение в таких случаях обозначается точкой, а свертка в самом тензоре T̂ — знаком Sp. Тогда, к примеру, равенства

ai = Tikd k , ϕ = Tik a i bk , Tik = Mij N jk , ϕ = MijN ji перепишутся следующим образом: a→ = T̂⋅b→, ϕ = a→⋅T̂⋅b→, T̂ = M̂⋅N̂, ϕ = Sp M̂⋅N̂ ≡M̂ : N̂. Из тензоров третьего ранга нам нужен всего один — единичный псевдотензор Леви-Чивита ɛijk, который полностью антисимметричен, т. е. меняет знак при перестановке любых двух индексов, а в декартовых координатах ɛ′123 = 1. В силу псевдотензорности при отражениях ɛijk остается неизменным. С помощью ɛijk можно двум векторам a→ и b→ сопоставить псевдовектор [a→b→], называемый их векторным произведением:

[a→b→]i ≡ ɛijk a j bk .

(3.23)

▸Задача 3.9

Убедиться в тензорных свойствах символа Леви-Чивита ɛijk и найти его выражение в произвольной системе координат, исходя из того, что инвариантный элемент объема может быть записан либо в виде dV = g1∕2dx1 dx2 dx3, где g ≡ det∣gik∣≡∣gik∣, либо как элемент объема, построенный на трех векторах dx→, dy→, dz→, т. е. dV = ɛijk dxi dyjdzk.

По аналогии с (3.23), каждому вектору a→ можно сопоставить псевдовектор, обозначаемый [∇a→] ≡ rota→и называемый ротором или вихрем вектора a→. Его контравариантные компоненты образуются по правилу

(rota→)i ≡ ɛijk ∂ jak .

(3.24)

▸Задача 3.10

Убедиться, что формула (3.24)) определяет компоненты псевдовектора. Записать rota→ в цилиндрических и сферических координатах, используя физические компоненты hiai(без суммирования) вектора a→.

Мы ознакомились с двумя дифференциальными операциями векторного анализа — взятием градиента и ротора. Существует еще и третья операция — взятие дивергенции вектора, обозначаемая diva→ ≡ (∇a→) и определяемая следующим образом:

diva→ ≡ g−1∕2 ∂ i(g1∕2 ai).

(3.25)

▸Задача 3.11

Показать, что diva→ является скаляром. Выразить diva→ в цилиндрических и сферических координатах.

В заключение этого параграфа разъясним смысл часто используемых в физике понятий ковариантности и инвариантности уравнений. Уравнение принято называть ковариантным относительно некоторого преобразования координат, если в результате преобразования оно не меняет своей формы, т. е. левая и правая его части преобразуются одинаково. Если же еще окажется, что преобразованное уравнение, будучи выраженным в новых координатах, не содержит параметров преобразования, то оно называется инвариантным относительно этого преобразования.² В этом же смысле используется и понятие инвариантных тензоров. Именно: тензор называется инвариантным относительно некоторого преобразования координат, если преобразованный тензор, будучи выраженным в новых координатах, оказывается неизменным, т. е. не зависящим от параметров преобразования. К примеру, относительный радиус-вектор r→2−r→1 двух точек инвариантен относительно сдвига r→′ = r→ + a→, а тензоры δki и ɛijk инвариантны относительно вращений (δ′ki = δki, ɛ′ijk = ɛijk).

[next] [front] [up]