| |
Для получения практически важных соотношений, используемых в
векторном анализе, оказывается полезным следующее интегральное
представление для оператора Гамильтона:
∇ = limS→0 1
V ∮
Sn→dS→
| (4.1) |
Смысл этой записи состоит в том, что три основные дифференциальные
операции grad,
div и
rot
могут быть представлены в таком виде:
gradϕ ≡∇ϕ = limS→0 1
V ∮
SnϕdS→,
(4.2a)
diva→ ≡ (∇a→) + limS→0 1
V ∮
S(n→a→)dS→,
(4.2b)
rota→ ≡ [∇a] = limS→0 1
V ∮
S[n→a→]dS→.
(4.2c)
Здесь V —
бесконечно малый объем, содержащий точку г, в которой вычисляются
gradϕ,
diva и
rota;
S — замкнутая поверхность,
окружающая V ;
dS→ — ее элемент;
n→ — единичный вектор
внешней нормали к S;
limS→0 означает, что
поверхность S
стягивается к точке r→.
Формулы (4.2) проясняют смысл обозначений
(∇a→) и
[∇a→]. В связи с
представлением ∇
оператор Гамильтона у часто называется оператором объемного
дифференцирования.
Задача 12. Убедиться в справедливости представления (4.2), взяв в качестве
объема V шар с
центром в точке r→.
Задача 13. Пользуясь (), вычислить
divr→,
rotr→,
grad(ar)→,
rot[ar]→,
gradϕ(r),
divA→(r),
rotA→(r), где
a — постоянный
вектор, r ≡∣r→∣.
В дальнейшем, если специально не оговорено, мы будем пользоваться
декартовыми координатами, в которых оператор у выглядит особенно
просто:
Если объект действия оператора
∇
зафиксирован, то в соответствии с () с ним можно обращаться, как с
обычным вектором. В то же время [см. *] он является оператором
дифференцирования. В частности, в соответствии с правилом
d(AB) = (dA)B + AdB
имеем
∇(AB) = (∇A)B + A∇B
или, помечая объект действия оператора
∇ жирной
точкой (•)
внизу, условимся писать
∇(AB) = ∇A•B + ∇AB •.
Вычислим, к примеру, div[a→b→]:
div[a→b→] ≡ (∇[a→b→]) = (∇[a→ •b→]) + (∇[a→b→ •]).
С каждым слагаемым, помеченным точкой
(•),
можно работать уже по правилам векторной алгебры, т. е.
(∇[a→ •b→]) = (b→[a→ •]) ≡ (b→rota→),
(∇[a→b→ •]) = −(a→[b→ •]) ≡−(a→rotb→).
В результате находим
div[a→b→] = (b→rota→) − (a→rotb→).
(4.4a)
Аналогично можно доказать и многие другие полезные тождества:
div(ϕa→) = ϕdiva→ + (a→∇ϕ),
(4.4b)
rot(ϕa→) = ϕrota→ + (∇ϕa→),
(4.4c)
rot[a→b→] = a→divb→ −b→diva→ + (b→∇)a→ − (a→∇)b→,
(4.4d)
grad(a→b→) = [a→rotb→] + [b→rota→] + (b→∇)a→ + (a→∇)b→,
(4.4e)
где в последних двух тождествах использовано обозначение
(a→∇) ≡ ai ∂i
для оператора дифференцирования вдоль вектора
a→.
Из представления (4.2) вытекают также и некоторые полезные
интегральные теоремы. Для их получения выберем некоторый объем
V , окруженный
поверхностью S,
и разобьем его на достаточно большое число
N ячеек. Пусть
i-я ячейка имеет
объем ΔV i, окруженный
поверхностью ΔSi. Тогда,
по теореме Лагранжа,3
внутри ΔV i,- найдутся
такие точки r→i(1),
r→i(2),
r→i3, что
будут справедливы соотношения:
ΔV i∇ϕ(r→i(1)) = ∮
ΔSin→ϕdS→,
ΔV i diva→(r→i(2)) = ∮
ΔSi(n→a→)dS→,
ΔV i rota→(r→i(3)) = ∮
ΔSi(n→a→)dS→.
Произведем теперь суммирование по всем ячейкам и положим
N →∞.
Тогда в пределе левые части перейдут в интегралы по объему
V ,
а правые части — в интегралы по внешней поверхности
S,
поскольку интегрирование по внутренним поверхностям
ΔSi
производится дважды, с противоположными значениями нормали
n→. В
результате получим следующие интегральные соотношения являющиеся
различными вариантами общей теоремы Остроградского:
∫
V ∇ϕdV =∮
Sn→ϕdS→,
(4.5a)
∫
V diva→dV =∮
S(n→a→)dS→,
(4.5b)
∫
V rota→dV =∮
S[n→a→]dS→.
(4.5c)
Наиболее часто используемое соотношение (4.5b) известно как теорема
Гаусса-Остроградского.
Теорему Остроградского можно применять и к
компонентам тензоров. Подставим, например, в (4.5a) вместо
ϕ компоненту
тензора Tik.
Тогда
∫
V ∂jTik dV =∮
SnjTikdS→.
Свертка по i
и j
дает
∫
V divT̂dV = ∮
S(n→ ⋅T̂)dS→,
| (4.6) |
где divT — вектор с
компонентами ∂iTik.
Если в (4.5a) положить ϕ = uv,
то получается широко используемая формула интегрирования по частям:
∫
V u∇v dV = ∮
Sunv dS→ −∫
V v ∇udV .
| (4.7) |
Отметим, что здесь u
и v v
можно считать произвольными тензорами.
Задача 14. Получить е помощью (4.5a), (4.5c) следующие теоремы
Стокса;
∫
S[n→∇ϕ]dS→ =∮
Gτ→ϕdl,
(4.8a)
∫
S(n→rota→)dS→ =∮
S(τ→a→)dl,
(4.8b)
где S —
поверхность, натянутая на замкнутый контур
C;
τ — единичный
вектор, касательный к контуру и направленный по правому винту относительно
n (т. е.
поверхность S
является правоориентированной относительно контура С). Вывести (4.8b) из
(4.5b).
Указание: выбрать в качестве объема
V
бесконечно малый цилиндр.
Задача 15. Вывести из теорем Стокса следующие полезные тождества:
rotgradϕ ≡ 0,
(4.9)
divrota→ ≡ 0.
(4.10)
Вектор e→,
удовлетворяющий условию rote→ = 0,
называется потенциальным или безвихревым. Как следует из (), в этом случае
e→ = −∇ϕ, где
ϕ —
произвольный скаляр (скалярный потенциал). Вектор
b→, удовлетворяющий
условию divb→ = 0,
называется соленоидальным. В этом случае
b→ = rota→, где
a→ —
произвольный вектор (векторный потенциал).
Задача 16. Убедиться, что для уравнений
∇ϕ = e→(x), rota→ = b→(x), divd→ = f(x),
где e→(x),
b→(x) и
f(x)
суть заданные функции, наиболее общими, решениями являются
соответственно:
ϕ = ∫
01r→ ⋅e→(λx)dλ + const,
a→ = ∫
21λ[b→(λx)r→]dλ + ∇ψ(x),
d→ = r→∫
01λ2f(λx)dλ + rotc→(x)
при произвольных ϕ(x)
и c→(x). Найти условия
на векторы e→(x)
и b→(x),
при которых эти решения существуют.
Изучим теперь важнейший для приложений оператор Лапласа
Δ ≡ (∇∇). Его
особенность состоит в том, что он является инвариантным (скалярным) оператором
как в применении к скалярной, так и к векторной функции. В применении к
скаляру ϕ(x)
он определяется так:
Используя определения div
и grad в
произвольных координатах, имеем
Δϕ = g−1∕2 ∂
i(g1∕2 ∂iϕ).
С другой стороны, ∂kϕ = gki∂iϕ,
откуда
∂iϕ = ∑
k=13g
ik−1 ∂
kϕ = gik ∂
kϕ,
где gik —
контравариантные компоненты метрического тензора, определяемые условием
gik gkj = δji.
Итак,
Δϕ = g−1∕. 2∂
i(g1∕. 2gik∂
kϕ).
| (4.12) |
Задача 17. Записать Δϕ
в декартовых, цилиндрических и сферических координатах.
В применении к вектору a→
оператор Δ
определяется следующим образом:
Δa→ ≡ graddiva→ − rotrota→.
| (4.13) |
Задача 18. Показать, что в декартовых координатах
( Δa→)i = Δai ≡ divgradai,
т. е. (4.13) согласуется с (4.11). Найти физические компоненты вектора
Δa→ в
цилиндрических и сферических координатах.
Задача 19. Используя разложение скалярной функции
ϕ в ряд
Тейлора
ϕ(r→ + ξ→) = ∑
n=0∞ 1
n!(ξ→∇)nϕ(r→),
доказать справедливость следующего представления для
Δϕ:
Δϕ(r→) = lima→010
a2Δaϕ(r→),
| (4.14) |
где Δaϕ — среднее
уклонение функции ϕ в
объеме шара радиуса a
с центром в точке r→,
т. е.
Δaϕ(r→) ≡ 3
4πa3 ∫
V a[ϕ(r→ + ξ→) − ϕ(r→)]dV ξ.
В приложениях часто приходится иметь дело с гармоническими функциями. Функция
ϕ называется
гармонической в области V ,
если внутри нее она удовлетворяет уравнению Лапласа
Δϕ = 0.
Важным свойством гармонической в области
V функции
является то, что она принимает свои наименьшее и наибольшее значения на границе
области V
(принцип максимума).
Задача 20. Доказать принцип максимума, пользуясь представлением ()
для Δϕ.
В заключение обратим внимание на важное свойство сферических
средних, часто используемое при решении уравнений, содержащих
оператор Лапласа. Сферическим средним некоторой функции
ϕ(r)
называется величина
〈ϕ(r→)〉a = 1
4π ∮
∣ξ∣=1ϕ(r→ + aξ)dS→ξ,
| (4.15) |
представляющая собой среднее значение функции
ϕ(r) на сфере
радиуса a с
центром в точке r.
Задача 21. Показать, что
Δ〈ϕ〉a = 1
a ∂2
∂a2(a〈ϕ〉a)
| (4.16) |
Замечая, что ϕ(r→) = lima→0〈ϕ(r→)〉a,
выводим из () еще одно интересное представление для оператора Лапласа:
Δϕ(r→) = lima→01
a ∂2
∂a2[a〈ϕ(r→)〉a].
| (4.17) |
|