6 Дивергенция электрического поля

§6 Дивергенция электрического поля

С помощью теоремы Остроградского поверхностный интеграл в левой части теоремы Гаусса (5.4) можно преобразовать в интеграл по объему V , ограниченному поверхностью S:

∮ SE→⋅dS→ = ∫ V divE→dV .

(6.1)

Результат преобразования называют теоремой Остроградского-Гаусса: ∫ V divE→dV = 4π ∫ V ρdV .

Поскольку она верна для любой области интегрирования V , в том числе и бесконечно малой, из неё следует равенство подынтегральных выражений слева и справа в каждой точке пространства:

divE→ = 4πρ.

(6.2)

Это дифференциальное уравнение является одним из основных уравнений электростатики; оно верно также для динамических явлений.

Теорему Остроградского (6.1) можно пытаться доказывать, отталкиваясь от какого-либо из определений оператора дивергенции div. Однако саму эту теорему можно рассматривать в качестве инвариантного определения div, не зависящего от выбора системы координат. Переходя в (6.1) к пределу V → 0, получаем:

divE→ = limV →0 ∮ SE→⋅dS→ V .

(6.3)

Вместо E→ здесь, как и в (6.1), может стоять любой другой вектор.

Покажем, как из (6.3) получается выражение для дивергенции в декартовых координатах. Рассмотрим небольшой параллепипед, образованный координатными плоскостями, как показано на рис. 1.12.

Рис. 1.12:

В пределах каждой грани параллелипипеда вектор E→ можно считать постоянным, поскольку затем размеры параллелипипеда будут устремлены к нулю. Тогда поверхностный интеграл по каждой грани равен произведению площади грани на нормальную (к этой грани) компоненту вектора E→. Например, для пары противоположных граней в координатных плоскостях x и x + dx имеем (Ex∣x+dx − Ex∣x)∣Sx∣, где ∣Sx∣ = dy dz — площадь каждой из граней. Знак минус перед вторым слагаемым в скобках здесь связан с тем, что нормаль к соответствующей грани направлена в отрицательном направлении оси x. Разлагая первое слагаемое в скобках в ряд Тейлора вокруг точки x с точностью до члена, линейного по dx, находим, что вклад этой пары граней в поверхностный интеграл равен (∂Ex∕∂x)V , где V = dxdy dz. Аналогичным образом вычисляется вклад двух других пар граней. После сокращения на V из (6.3) получаем:

divE→ = ∂Ex ∂x + ∂Ey ∂y + ∂Ez ∂z .

(6.4)

▸Задача 6.1

Найти электрическое поле плоского, равномерно заряженного слоя.

Решение: Пусть σ — заряд слоя на единицу площади. Тогда объёмный заряд равен ρ = σ∕(2a) внутри слоя (при x ≤∣a∣), и нулю вне слоя (при x > ∣a∣). Из симметрии задачи ясно, что поле направлено по нормали к слою вдоль оси x и имеет только x-компоненту, E = Ex(x). Тогда

div E \to = d E d x = 4 π σ ∕ (2 a), ∣ x ∣ \leq a; 0, ∣ x ∣ > a .

Полученное обыкновенное дифференциальное уравнение с кусочно-непрерывной правой частью легко интегрируется по отдельности в каждой из частей пространства, где правая часть непрерывна. Вне слоя, при x < −a и x > a, производная dE∕dx равна нулю, т.е. поле вне слоя постоянно, но, вообще говоря, различно по разные стороны от слоя. Внутри слоя, при ∣x∣≤ a, производная dE∕dx постоянна; следовательно, там поле есть линейная функция x: E = 2πσ x∕a + const. Для определения неизвестной константы необходимо сделать дополнительные предположения. Если считать, что в отсутствие слоя, электрическое поле было равно нулю, то при наличии слоя оно будет равно нулю в его центре, т.е. E = 0 при x = 0. Отсюда следует, что неизвестная константа равна нулю. Теперь уже нетрудно найти поле вне слоя: в каждом пустом полупространстве напряженность электрического поля просто равно своему значению на поверхности слоя, обращенной к полупространству. Таким образом,

E (x) = - 2 π σ, x \leq - a, 2 π σ x ∕ a, ∣ x ∣ \leq a, 2 π σ, x \geq a;

Этот ответ также получен при решении задачи 5.4 . ▸Задача 6.2

Используя инвариантное определение дивергенции найти выражение для дивергенции в произвольной ортогональной системе координат, выразив результат через коэффициенты Ламэ.

Ответ:

div E \to = 1 h 1 h 2 h 3 [\partial \partial x 1 (h 2 h 3 E 1) + \partial \partial x 2 (h 1 h 3 E 2) + \partial \partial x 3 (h 1 h 2 E 3)] .

▸Задача 6.3

Найти коэффициенты Ламэ и записать выражение для дивергенции в сферической системе координат.

Ответ: hr = 1, hθ = r, hα = rcosθ;

div E \to = 1 r 2 \partial \partial r (r 2 E r) + 1 r sin θ \partial \partial θ (sin θ E θ) + 1 r sin θ \partial E α \partial α .

▸Задача 6.4

Найти коэффициенты Ламэ и записать выражение для дивергенции в цилиндрической системе координат.

Ответ: hr = 1, hα = r, hz = 1;

div E \to = 1 r \partial \partial r (r E r) + 1 r \partial E θ \partial θ + \partial E α \partial α .

[next] [prev] [prev-tail] [front] [up]