§26 Об аналогии и характерном отличии между полями в диэлектриках и проводниках

1. Полезно обратить внимание, что электростатические поля в диэлектрике и поля в проводниках при прохождении постоянного тока описываются одинаковыми и уравнениями, и граничными условиями, если только диэлектрики не содержат свободных зарядов. Для наглядности их здесь повторим, приписав к каждому утверждению для диэлектриков без свободных зарядов соответствующий аналог из проводников (в скобках):

и подчеркнув, что соотношения

являются общими. Отсюда следует, что при наличии геометрического подобия границ и подобия в распределении свойств ɛ(r→),σ(r→) две рассматриваемые задачи могут иметь одинаковые решения. Особенно наглядно рассматриваемая аналогия проявляется в случае однородных сред, когда распределения поля в диэлектрике и тока в проводнике определяются из единой математической задачи для скалярного потенциала.

Проиллюстрируем это утверждение на конкретном примере. Представим себе два объемных проводника, погруженных в бесконечный однородный непроводящий диэлектрик с диэлектрической проницаемостью ɛ (см. рис. 47). Пусть эти проводники, которые можно рассматривать как обкладки некоторого конденсатора, содержат свободные заряды Q и −Q. Тогда поле E→ = −gradϕ в пространстве вне границ проводников S1,S2 определяется из задачи

Второй случай. Пусть эти два проводника при том же взаимном расположении помещены в однородную проводящую среду с проводимостью σ, обладающую и диэлектрической проницаемостью ɛ. Чтобы процесс протекания тока между проводниками S1,S2( теперь их можно рассматривать как электроды) сделать стационарным, к последним должен быть подключен постоянный источник ЭДС. Предположим, что материал электродов обладает проводимостью σ0 ≫ σ, так, что и при прохождении тока потенциалы в пределах электродов постоянны ( ϕ1 = const,ϕ2 = const). Пусть источник ЭДС поддерживает между электродами разность потенциалов ϕ1 − ϕ2 = U1.

Задача определения тока j→ = −σgradϕ при этих условиях имеет вид, совпадающий с (3.29):

только здесь в отличие от (3.29), не только ϕ1,ϕ2, но и Q1 — свободная константа, которая определяется дополнительным условием

Как видим, две физически различные задачи действительно имеют одинаковую математическую формулировку и, как следствие, равенство

Найдем сопротивление R при прохождении тока между электродами S1,S2. Суммарный ток между электродами

с использованием (3.30) можно представить в виде I = 4πσ ɛ CU1. Получается, что искомое сопротивление R = U1∕I и емкость между электродами C = Q1∕U1 связаны между собой соотношением

2. Воспользовавшись случаем, рассмотрим нестационарный процесс протекания тока между электродами после отключения источника ЭДС. Теперь эти электроды можно рассматривать как обкладки соответствующего конденсатора и поставить вопрос — как из-за токов утечки заряд на обкладке будет изменяться со временем. Не имея пока возможности исследовать вопрос в полном объеме, примем предположение, что разряд конденсатора происходит "медленно"и статические значения проводимости σ и диэлектрической проницаемости ɛ применимы для описания рассматриваемого нестационарного процесса ( или, как обычно говорят, дисперсией диэлектрической проницаемости можно пренебречь). При этом предположении из цепочки равенств

получается уравнение для искомой величины

решение которого есть

Таким образом, разряд происходит за характерное время

3. Существует одно обстоятельство, делающее задачу определения тока в объемном проводнике несравненно проще по сравнению с аналогичной задачей электростатики диэлектриков. Связано оно с тем, что при изучении прохождения тока часто бывает вполне допустимо считать, что проводимость окружающего проводник пространства в точности равна нулю и ток в этом пространстве отсутствует. На основании граничного условия (3.27) отсюда следует, что нормальная компонента тока в проводнике, а следовательно, и нормальная компонента электрического поля на границе раздела En = 0 независимо от полей в окружающем пространстве. Это означает, что задача исследования полей в пространств расщепляется на две самостоятельные задачи. Первая из них касается полей в проводящей области пространства и решается независимо от полей в окружающем пространстве, Эта подзадача представляет самостоятельный интерес и часто ею ограничиваются, не интересуясь полями в окружающей непроводящей среде. Последние, при необходимости, можно на втором этапе определить, т.к. на границах с проводником распределение потенциала теперь уже известно из решения первой задачи.

В задаче электростатики диэлектриков подобной возможности расщепления общей задачи не существует, т.к. нет ситуаций, когда предположение ɛ = 0 могло бы быть оправдано. Для иллюстрации вышесказанного служит следующая задача.

Задача 3.3. Плоская граница раздела двух сред с диэлектрическими проницаемостями ɛ1,ɛ2 "испорчена"наличием полусферического выступа радиуса a, как показано на рис. 48. Рассматриваемая система находится в однородном внешнем электрическом поле E→0, параллельном плоскости раздела. Требуется найти возмущение поля E→0, вызванное возмущением границы раздела. В такой постановке поля в двух частях пространства между собой связаны через граничное условие непрерывности нормальной компоненты поля D→ и простого решения задача не имеет.(Для ее решения требуется умение обращаться с так называемыми сферическими гармониками). Если же задачу видоизменить, предположив, что выше границы раздела среда обладает некоторой проводимостью σ ( или является проводящей средой), то общая задача развивается на две самостоятельные, последовательно решаемые задачи и первая из них, определяющая распределение поля E→ и тока j→ в проводнике, решается в элементарных функциях. Действительно, в сферической системе координат (r,θ,α) связанной с центром выступа и направлением вектора E→0, в которой плоской части границы раздела соответствуют координаты α = 0, α = π, задача определения потенциала в проводящей части пространства r > α, 0 < θ < π, 0 < α < π:

не связана с потенциалом в соседней области и имеет решение

не зависящие от угловой координаты α. Оно в своей области определения совпадает с решением задачи об обтекании током в однородной проводящей среде сферического непроводящего включения.