В рамках курса "Электричество и магнетизм" диэлектрик – это среда, содержащая большое число электрических диполей (молекул, обладающих нулевым зарядом и ненулевым электрическим дипольным моментом). Эти диполи лишены поступательных степеней свободы, но вращательные у них имеются. В отсутствие внешнего электрического поля диполи ориентированы случайно. При наложении внешнего поля диполи поворачиваются, приобретая преимущественную ориентацию. В результате к внешнему полю добавляется поле диполей. Определение полного поля составляет задачу электростатики в диэлектриках. При этом подразумевается поле в макроскопическом смысле, то есть усредненное по физически бесконечно малым элементам объема и, таким образом, не зависящее от микроскопических колебаний плотности заряда, связанных с молекулярным строением вещества. Другими словами, дополнительное поле рассчитывается в приближении сплошной среды.

В случае однородного диэлектрика даже выстроенные по внешнему полю диполи не приводят к появлению объемного заряда, поскольку в любом объеме число отрицательных и положительных зарядов одинаково. Нескомпенсированный заряд возможен только на границе диэлектрика, где он характеризуется поверхностной плотностью. Поэтому дополнительное поле можно свести к действию только поверхностных зарядов, что технически значительно проще, чем рассчитывать интегральное поле диполей по всему объему диэлектрика.

Заряды в диэлектрике могут формироваться как за счет молекул самого диэлектрика, так и зарядами, привнесенными со стороны (например, путем ионного внедрения). Заряды первого типа называются связанными, второго – сторонними или, что то же, свободными. Во избежание недоразумений подчеркнем, что данная терминология не имеет ничего общего с тем, подвижны заряды или нет.

Первое уравнение Максвелла в форме $$\begin{equation}\label{equat1} \text{div} \vec{E}=4\pi(\rho+\rho_{св}) \end{equation}$$ указывает на связь макроскопического поля с плотностью как сторонних ($\rho$), так и связанных ($\rho_{св}$) зарядов. Поскольку последняя a priori не известна, вводится вспомогательная векторная величина $\vec{D}$, называемая электрической индукцией, для которой выполняется соотношение $$\begin{equation}\label{equat2} \text{div} \vec{D}=4\pi\rho, \end{equation}$$ т. е. $\text{div} \vec{D}$ не зависит от плотности связанных зарядов.

Из уравнения $\eqref{equat2}$ следует граничное условие на нормальные компоненты $\vec{D}$: $$\begin{equation}\label{equat3} D_{n2}-D_{n1}=4\pi\sigma, \end{equation}$$ где $\sigma$ – поверхностная плотность сторонних зарядов.

Оказывается, в изотропных диэлектриках векторы $\vec{D}$ и $\vec{E}$ связаны простым соотношением: $$\vec{D}=\varepsilon \vec{E},$$ где $\varepsilon$ – диэлектрическая проницаемость среды.

Из второго уравнения Максвелла $$\text{rot}\vec{E}=0$$ следует граничное условие на тангенциальные компоненты $\vec{E}$: $$\begin{equation}\label{equat4} E_{t2}-E_{t1}=0. \end{equation}$$

Обычно общий вид поля в среде удается угадать, а граничные условия $\eqref{equat3}$ и $\eqref{equat4}$ позволяют найти неопределенные коэффициенты. Если одно из граничных условий оказывается неинформативным, то можно попытаться получить недостающую информацию из теоремы Гаусса, записанной для вектора $\vec{D}$: $$\oint (\vec{D}\cdot d\vec{S})=4\pi Q,$$ где $Q$ – полный сторонний заряд внутри области, ограниченной поверхностью $S$. Область $S$ при этом требуется выбрать подходящим образом.

После того, как найдено поле в среде, можно определить удельный дипольный момент на единицу объема (поляризацию) по формуле $$\vec{P}=\frac{\varepsilon-1}{4\pi}\vec{E}.$$

Зная поляризацию, можно непосредственно определить плотность связанных зарядов на границе раздела со стороны данного диэлектрика как $$\sigma_{св}=P_n=\frac{\varepsilon-1}{4\pi}E_n,$$ где $P_n$ – проекция вектора поляризации на внешнюю нормаль к границе раздела.
Если граница разделяет диэлектрики с диэлектрическими проницаемостями $\varepsilon_1$ и $\varepsilon_2$, то полная плотность связанных зарядов равна $$\sigma_{св}=P_{1n}+P_{2n} =\frac{\varepsilon_1-1}{4\pi }E_{1n} -\frac{\varepsilon_2-1}{4\pi }E_{2n}.$$ (знак ''-'' перед вторым слагаемым поставлен с учетом того, что направление внешней нормали с другой стороны от границы раздела меняется на противоположное, в то время как $E_{1n}$ и $E_{2n}$ здесь и чаще всего на практике определяются как проекции на одно направление).

С учетом $\varepsilon_1 E_{1n} = \varepsilon_2 E_{2n}$ получим также $$\sigma_{\text{полн}}=\frac{\varepsilon_1-\varepsilon_2}{4\pi \varepsilon_2}E_{1n} = \frac{\varepsilon_1-\varepsilon_2}{4\pi \varepsilon_1}E_{2n}.$$

Ниже приведен ряд практических примеров на решение задач электростатики в диэлектриках.